% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % The Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions % % Elliptiques, by Charles Henry % % % % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % % almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % % re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % % with this eBook or online at www.gutenberg.org % % % % % % Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques % % A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques % % % % Author: Charles Henry % % % % Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] % % Most recently updated: June 11, 2021 % % % % Language: French % % % % Character set encoding: UTF-8 % % % % *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\ebook{32643} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Packages and substitutions: %% %% %% %% book: Required. %% %% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% %% fontenc: For boldface small-caps. Required. %% %% babel: For Greek snippets. Required. %% %% %% %% calc: Infix arithmetic. 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Veuillez consulter le préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. } %% Re-set if ForPrinting=true \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} \renewcommand{\TransNoteText}{% Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection. \bigskip Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément reformater pour être lu sur un écran. 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Hwang, Joshua Hutchinson, Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs}, pdfstartview=Fit, % default value pdfstartpage=1, % default value pdfpagemode=UseNone, % default value bookmarks=true, % default value linktocpage=false, % default value pdfpagelayout=\PDFPageLayout, pdfdisplaydoctitle, pdfpagelabels=true, bookmarksopen=true, bookmarksopenlevel=0, colorlinks=true, linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] %%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages \ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{% \hypersetup{pdfpagescrop= 0 30 378 566}% \raggedbottom% \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} }{}% Else do nothing %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% % 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width \newenvironment{PGtext}{% \begin{alltt} \fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% {\end{alltt}} %% Surround footnote markers with upright parentheses \makeatletter \renewcommand\@makefnmark% {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} \renewcommand\@makefntext[1]% {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} \makeatother %%%% Table of contents %%%% \newcommand{\TableofContents}{% \cleardoublepage \phantomsection \pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiaire}{Matière Subsidiaire} \pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Contents} \fancyhead[C]{\CtrHeading{Table des Matières}} \footnotesize \tableofcontents } \newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping \AtBeginDocument{% \renewcommand{\contentsname}{\protect\ChapterHead{TABLE DES MATIÈRES}} } \newcommand{\ToCPart}[2]{% \section*{\normalfont\centering\small\MakeTextUppercase{#1}} %[** TN: Regularize dots following Part subtitles] \subsection*{\normalfont\centering\footnotesize\bfseries #2.} } \newlength{\ToCLen} \newcommand{\ToCLine}[2]{% \settowidth{\TmpLen}{999}% \settowidth{\ToCLen}{\textsc{Chapitre }VII.\ ---\ 999}% \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{% \hangindent \ToCLen #2\dotfill}\hfill\pageref{#1}\medskip% } \newcommand{\ToCBox}[1]{% \ifthenelse{\equal{#1}{I}}{% \textsc{Chapitre }\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % }{% \PadTxt{\textsc{Chapitre }}{---}\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % }% } % Ensure the word "page" is printed at the top of the % page number column in the ToC. % % A \ToCLine puts down a label and gets the \pageref. 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No ToC entry \phantomsection\pdfbookmark[0]{Avant-Propos}{Avant-Propos}% \label{preface} \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{preface}{\protect\textsc{Avant-propos}}} \fancyhead[C]{\CtrHeading{Avant-Propos}} \thispagestyle{empty} \SetPageNumbers } \newcommand{\Additions}{% \clearpage \section*{\ChapterHead{ADDITIONS}} \phantomsection\pdfbookmark[0]{Additions}{Chap \thePartNo.add}% \label{appendix} \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{appendix}{\protect\textsc{Additions}}} \thispagestyle{empty} \fancyhead[C]{\CtrHeading{Additions}} } \newcommand{\Paragraph}[3][\textit]{% \medskip\par% \phantomsection\pdfbookmark[1]{No. #2}{No. #2}\textbf{#2}\ #1{#3}% } \newcommand{\Subparagraph}[1]{\medskip\par\textit{#1}} \newenvironment{Theorem}[1]{% \Paragraph[\textsc]{#1}{Théorème.}\itshape}{\normalfont} % Misc. semantic and convenience macros \DeclareUnicodeCharacter{00A3}{\pounds} \DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else{\ \textperiodcentered\ }\fi} \DeclareMathSizes{12}{12}{9}{8} %[**** Boldface?] \DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} \DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} \DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} \DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} \DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} \DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} \DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} \DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} \DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} \DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} \DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} \DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} \DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} \DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} \DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} \DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} \DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} \DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} \DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} \DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} \DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} \DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} \DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} \DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} \DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} \DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\Mod}{mod.} %**** Some instances need periods %% Book's notation for hyperbolic trig functions \DeclareMathOperator{\Cosh}{cos\,h} \DeclareMathOperator{\Tanh}{tang\,h} \newcommand{\tb}[1][1in]{\rule{#1}{0.5pt}} \newcommand{\ctb}[1][1in]{\vfill\begin{center}\tb[#1]\end{center}\vfill} \newcommand{\Ditto}{\text{»}} \renewcommand{\ieme}{\textsuperscript{\textit{ième}}} \newcommand{\wpbar}{\overline{\wp}} \newcommand{\cqfd}{c.\,q.\,f.\,d.} \newcommand{\cinqo}{\FrenchEnumerate5} \newcommand{\sexto}{\FrenchEnumerate6} \newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} \newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath#1}} \newcommand{\Eqref}[1]{\ensuremath{#1}} \newcommand{\DPtypo}[2]{#2}%[** TN: For corrections] % For alignment; 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You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques Author: Charles Henry Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] Most recently updated: June 11, 2021 Language: French Character set encoding: UTF-8 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** \end{PGtext} \end{minipage} \end{center} \clearpage %%%% Credits and transcriber's note %%%% \begin{center} \begin{minipage}{\textwidth} \begin{PGtext} Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) \end{PGtext} \end{minipage} \end{center} \vfill \begin{minipage}{0.85\textwidth} \small \pdfbookmark[0]{Notes sur la transcription}{Notes sur la transcription} \subsection*{\centering\normalfont\scshape% \normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% \raggedright \TransNoteText \end{minipage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \frontmatter \pagenumbering{roman} \pagestyle{empty} %% -----File: 001.png---Folio xx------- \iffalse Production Note Cornell University Library produced this volume to replace the irreparably deteriorated original. It was scanned using Xerox software and equipment at 600 dots per inch resolution and compressed prior to storage using CCITT Group 4 compression. The digital data were used to create Cornell's replacement volume on paper that meets the ANSI Standard Z39.48-1984. The production of this volume was supported in part by the Commission on Preservation and Access and the Xerox Corporation. 1990. \fi %% -----File: 002.png---Folio xx------- % [Blank Page] %% -----File: 003.png---Folio xx------- \iffalse Cornell University Library BOUGHT WITH THE INCOME FROM THE SAGE ENDOWMENT FUND THE GIFT OF Henry W. Sage 1891 \fi %% -----File: 004.png---Folio xx------- % [Blank Page] %% -----File: 005.png---Folio xx------- \setlength{\TmpLen}{24pt}% \null\vfil\vfil \begin{center} \Large ABRÉGÉ \\[\TmpLen] \scriptsize DE LA \\[\TmpLen] \makebox[0pt][c]{\Large THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES} \end{center} \vfil\vfil\vfil \cleardoublepage %% -----File: 006.png---Folio xx------- % [Blank Page] %% -----File: 007.png---Folio xx------- % Title page \setlength{\TmpLen}{20pt}% {\titlestretch% \begin{center} \Large \textbf{ABRÉGÉ} \\[\TmpLen] \normalsize DE LA THÉORIE \\[\TmpLen] \scriptsize DES \\[\TmpLen] \makebox[0pt][c]{\Huge \textbf{FONCTIONS ELLIPTIQUES}} \\[\TmpLen] \footnotesize% A L'USAGE DES CANDIDATS \\ A LA LICENCE ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES \\[\TmpLen] \scriptsize PAR \\[\TmpLen] \textbf{\footnotesize\scshape Charles HENRY} \\[0.5\TmpLen] Maître de Conférences a l'Ecole pratique des hautes études \\ Bibliothécaire à la Sorbonne \\ Membre de la Société mathématique de France \\ \vspace*{2\TmpLen} \tb \vspace*{3\TmpLen} \Large PARIS \normalsize LIBRAIRIE NONY \& C\textsuperscript{ie} 17, {\scriptsize RUE DES ÉCOLES}, 17 1895 \end{center}} \cleardoublepage %% -----File: 008.png---Folio xx------- % [Blank Page] %% -----File: 009.png---Folio 5------- \stretchyspace% \Preface En lisant la dernière édition du \textit{Cours d'analyse} de M.~Camille Jordan, j'ai été frappé de la façon magistrale dont y est exposée la théorie des fonctions elliptiques. Afin de mieux m'assimiler cette partie importante d'un ouvrage où tout est à méditer, j'en ai fait à mon usage un abrégé où je ne me suis pas interdit de faire entrer par ci par là des souvenirs d'autres lectures et aussi quelques idées personnelles. Ce travail achevé, il m'a semblé que d'autres que moi pourraient en tirer profit; de là ce petit livre, où, ne cherchant pas à dissimuler la source à laquelle j'ai si largement puisé, j'ai conservé toutes les notations qu'a employées M.~Jordan. L'étudiant qui pour la première fois ouvre un traité des fonctions elliptiques est souvent rebuté par la multiplicité des formules et l'abondance des calculs, dont il n'aperçoit pas toujours le but. Mettre en relief les idées principales, signaler nettement l'objet qu'on se propose, éviter les longues transformations algébriques qui ne servent qu'à le masquer, telle est la pensée qui a présidé à la composition de cet opuscule d'ailleurs purement didactique. Pour en alléger le plus possible le contenu, je n'ai pas %% -----File: 010.png---Folio 6------- hésité à sacrifier certains développements de la théorie, intéressants mais non indispensables pour la faire comprendre. Mon désir est d'être lu non seulement avec fruit, mais sans fatigue, par les candidats à la licence ès sciences mathématiques, à qui je m'adresse plus particulièrement. \null\hfill \Ord{1}{er}~Octobre 1894.\qquad \vfil \ctb \vfil\vfil \clearpage %% -----File: 011.png---Folio 7------- \mainmatter \Part[Généralités sur les fonctions elliptiques]% {Première Partie}{Généralités\break\normalsize concernant les fonctions elliptiques} %% -----File: 012.png---Folio 8------- % [Blank Page] %% -----File: 013.png---Folio 9------- \Chapter{I}{Des périodes} Dans tout ce qui suit, nous supposons connus les principes de la théorie des fonctions d'une variable complexe, principes dont nous aurons soin, d'ailleurs, de rappeler l'énoncé d'une manière suffisamment nette chaque fois que le besoin s'en fera sentir. \Paragraph{1.}{Définitions.} --- On dit qu'une fonction~$f(u)$ est \emph{périodique} et admet la période~$2\omega$, si elle satisfait à la relation \[ f(u + 2\omega) = f(u). \] On peut se demander s'il existe des fonctions admettant un nombre \emph{quelconque} de périodes. Nous allons voir qu'une fonction \emph{analytique uniforme} ne peut admettre plus de \emph{deux} périodes \emph{distinctes}. De là l'intérêt qui s'attache à l'étude des fonctions doublement périodiques. Nous appelons \textsc{fonction elliptique} \emph{toute fonction analytique uniforme doublement périodique, n'ayant pas d'autres singularités que des pôles}. Une fonction elliptique~$f(u)$ n'a donc, dans le plan de la variable complexe~$u$, aucun point essentiel à distance finie de l'origine. Expliquons le terme de \emph{périodes distinctes} dont nous venons de nous servir. Si $f(u)$~admet plusieurs périodes $2\omega, 2\omega', \dotsc$, %% -----File: 014.png---Folio 10------- elle admet évidemment pour période toute quantité \[ 2m\omega + 2m'\omega' + \dotsb, \] où $m, m', \dotsc$ sont des entiers quelconques, positifs ou négatifs. Si toutes ces quantités sont différentes, on dit que les périodes $2\omega, 2\omega', \dotsc$ sont \emph{distinctes}. Quand les périodes ne sont pas distinctes, il existe entre elles une relation linéaire et homogène à coefficients entiers, puisque pour deux systèmes au moins de valeurs $m_{1}, m'_{1}, \dotsc$; $m_{2}, m'_{2}, \dotsc$ attribuées aux entiers $m, m', \dotsc$, on doit, par hypothèse, avoir \[ 2m_{1}\omega + 2m'_{1}\omega'+ \dotsb = 2m_{2}\omega + 2m'_{2}\omega'+ \dotsb. \] \begin{Theorem}{2.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut avoir plus de deux périodes distinctes, à moins de se réduire à une constante. \end{Theorem} Supposons que la fonction~$f(u)$ ait trois périodes distinctes \[ 2\omega = \alpha + \beta i, \qquad 2\omega' = \alpha' + \beta' i, \qquad 2\omega''= \alpha'' + \beta''i. \] Toute quantité \begin{align*} \Omega &= 2m\omega + 2m'\omega' + 2m''\omega'' \\ &= m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha'' + (m\beta + m'\beta' + m''\beta'')i \end{align*} est une période de~$f(u)$. Figurons, dans le plan de la variable complexe~$u$, le point dont l'affixe est~$\Omega$. Ce point a pour abscisse $m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha''$ et pour ordonnée $m\beta + m'\beta' + m''\beta''$. En donnant à chacun des entiers $m, m', m''$ la suite des valeurs $0, 1, \dotsc, k$, on obtient évidemment $(k+1)^{3}$ périodes~$\Omega$. Chacun des %[Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[2.25in]{015a} \end{wrapfigure} points correspondants a une abscisse et une ordonnée moindres en valeur absolue que \[ kM + kM + kM = 3kM, \] $M$~étant une limite supérieure des six quantités $\alpha, \alpha', \alpha''$, $\beta, \beta', \beta''$. %% -----File: 015.png---Folio 11------- Les $(k+1)^3$ points~$\Omega$ sont donc tous compris à l'intérieur d'un carré dont le centre est à l'origine et dont les côtés, parallèles aux axes, ont pour longueur~$6kM$\@. Donnons à~$k$ la valeur~$n^2-1$. Les points~$\Omega$ sont au nombre de~$n^6$. Ils sont tous contenus dans un carré de côté~$6(n^2-1)M$\@. On peut, par des parallèles aux axes, diviser ce carré en $n^6$ autres de côté~$\dfrac{6(n^2-1)M}{n^3}$. Cela posé, si les périodes sont distinctes, les $n^6$~points $\Omega$ le sont aussi. Dès lors ou bien deux d'entre eux, au moins, tombent dans une même case; ou bien il n'y a qu'un point par case, mais alors toutes les cases sont occupées. Dans tous les cas, il y aura deux de ces points, $\Omega', \Omega''$, dont la distance est moindre, comme on le voit immédiatement, que le triple du côté de chaque petit carré, c'est-à-dire moindre que $\dfrac{18(n^2-1)M}{n^3}$, quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on veut en faisant croître~$n$. Mais la différence $\Omega' - \Omega''$ est une période, et elle a précisément pour module la distance des deux points $\Omega', \Omega''$. La fonction~$f(u)$ admet donc une période infiniment petite. Ainsi, dans toute région, les points pour lesquels la fonction analytique uniforme~$f(u)$ reprend la même valeur ne seraient point isolés, ce qui est impossible (à moins que $f(u)$~ne se réduise à une constante). \begin{Theorem}{3.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut avoir deux périodes distinctes dont le rapport~$\tau$ soit réel, à moins qu'elle ne se réduise à une constante. \end{Theorem} %% -----File: 016.png---Folio 12------- Figurons dans le plan de la variable~$u$ les deux segments $2\omega_1, 2\omega_2$, % [Illustration] \begin{wrapfigure}[8]{l}{2in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[2in]{016a} \end{wrapfigure} qui représentent les périodes. Puisque le rapport $\dfrac{2\omega_2}{2\omega_1} = \tau$ est réel, les segments ont la même direction~$OU$ ou sont dans le prolongement l'un de l'autre. On peut toujours supposer $\tau$~positif, sans quoi l'on prendrait pour période $2\omega_1$~et~$-2\omega_2$ (qui est aussi une période), et l'on serait ramené à ce cas. Les points $2\omega_1, 2\omega_2$ sont alors d'un même côté de l'origine~$O$. La différence $2\omega_1 - 2\omega_2 = 2\omega_3$ est une période; nous supposons que le terme soustractif~$2\omega_2$ a le plus petit module; sinon nous ferions la différence en sens inverse. Le point~$2\omega_3$ est alors situé sur la direction~$OU$. Supposons $\Mod 2\omega_3 > \Mod 2\omega_2$; on fera la différence $2\omega_3 - 2\omega_2 = 2\omega_4$; c'est une période, et le point~$2\omega_4$ tombe encore sur la direction~$OU$\@. En opérant toujours de la même manière, on obtient une suite de points, tous situés sur la droite~$OU$ entre l'origine et le point~$2\omega_1$. Si ces points, où la fonction~$f(u)$ reprend la même valeur, sont en nombre indéfini, $f(u)$~admet une période infiniment petite; il faut donc qu'elle se réduise à une constante. S'ils sont en nombre limité, c'est que l'une des périodes~$2\DPtypo{\omega_{n'}}{\omega_n'}$ à laquelle on arrive se confond avec une période déjà obtenue~$2\omega_n$. Mais il est évident, d'après la manière dont on les a formées, que ces deux périodes sont des fonctions linéaires, homogènes, à coefficients entiers, de $2\omega_1, 2\omega_2$. Ces deux-ci ne seraient donc pas distinctes, ce qui va contre l'hypothèse. %% -----File: 017.png---Folio 13------- \Paragraph{4.}{Parallélogramme des périodes.} --- La question se pose maintenant % [Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.5in]{017a} \end{wrapfigure} de diviser le plan de la variable complexe~$u$ en régions telles que, lorsque $u$~décrit l'une de ces régions, la fonction doublement périodique~$f(u)$ prend toutes les valeurs qu'elle peut acquérir. A partir d'un point~$O'$ (qui peut être ou ne pas être l'origine~$O$ des coordonnées) portons deux droites représentant en grandeur et en direction les deux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$.\ --- Ces deux droites font un angle qui n'est pas nul, d'après le théorème précédent. On peut donc sur ces deux droites construire un parallélogramme~$O'ACB$; ce sera le \emph{parallélogramme des périodes}. Ce parallélogramme est la région cherchée. Construisons % [Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.5in]{017b}\hfill \end{wrapfigure} en effet le réseau complet des parallélogrammes égaux à celui-là, de manière à en recouvrir tout le plan. Les sommets de ce réseau seront les points \[ O' + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Un point quelconque~$U$ a pour homologue dans le parallélogramme $O'ACB$ un point~$u$ tel que \[ U = u + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] On a donc $f(U) = f(u)$, ce qui prouve bien que toutes les valeurs que peut prendre~$f(u)$ se trouvent dans le seul parallélogramme $O'ACB$\@. Les éléments les plus intéressants du parallélogramme des périodes sont fournis par l'étude du rapport \[ \tau = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1 \beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i = r + si. \] %% -----File: 018.png---Folio 14------- Le signe de la partie imaginaire~$s$ de ce rapport, signe qui d'ailleurs est celui de $\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1$, va décider d'une question dont nous apprécierons par la suite toute l'importance: Quand on fait le tour du parallélogramme en s'éloignant du point~$O'$ suivant la ligne~$2\omega_1$, la circulation aura-t-elle lieu dans le sens direct ou dans le sens rétrograde? L'argument du quotient de deux quantités complexes étant égal à l'excès de l'argument du dividende sur l'argument du diviseur, l'argument de~$\tau$ sera égal à l'angle~$\varphi$ des deux directions $2\omega_1, 2\omega_2$, angle qu'on obtient par la rotation dans le sens \emph{direct} d'une droite couchée d'abord sur~$2\omega_1$ et venant ensuite s'appliquer sur~$2\omega_2$. %[Illustration] \begin{center} \Input{018a} \end{center} Quand l'angle~$\varphi$ est plus petit que~$\pi$, il est clair, comme le montre la première des deux figures ci-dessus, que la circulation autour du parallélogramme s'opère dans le sens direct; elle se fait dans le sens rétrograde (\Ord{2}{e}~figure), lorsque $\varphi$~est plus grand que~$\pi$. Or si l'on appelle~$\rho$ le module de~$\tau$, on a \[ \tau = \rho(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r + si, \] d'où l'on conclut: $\rho \sin \varphi = s$; c'est-à-dire que $\sin \varphi$ a le signe de~$s$. Donc, quand on suit le contour dans le sens direct, $\varphi$~étant plus petit que~$\pi$, $s$~est positif; dans le sens rétrograde, $s$~est négatif. Remarquons encore la signification intéressante du numérateur de \[ s = \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1} {\alpha_1^2 + \beta_1^2 }. \] %% -----File: 019.png---Folio 15------- Si nous portons notre attention sur le triangle~$O'AB$, qui est la moitié du parallélogramme des périodes, nous voyons que ses sommets $O', A, B$ ont respectivement pour coordonnées (si l'on place l'origine en~$O'$) \[ 0,0; \qquad \alpha_1, \beta_1; \qquad \alpha_2, \beta_2. \] Donc la surface de ce triangle a pour mesure \[ \frac{1}{2} \lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert. \] Par conséquent $\lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert$ représente l'aire du parallélogramme des périodes. \Paragraph{5.}{Réseau des périodes équivalentes.} --- En considérant le réseau de parallélogrammes construit sur les deux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$, on est amené à se demander si on ne pourrait pas construire sur d'autres périodes un réseau ayant exactement les mêmes sommets que celui-là. Le problème consiste à chercher ces nouvelles périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$, \emph{équivalentes} aux périodes données. Il y a une infinité de couples de périodes équivalentes. On obtient tous ces couples de la manière suivante. Posons \[ 2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, \] $a$~et~$b$ étant deux entiers quelconques premiers entre eux, et déterminons deux nouveaux entiers $c$~et~$d$ (nécessairement premiers entre eux) par la condition \[ ad - bc = ± 1 \] (il y a une infinité de nombres $c, d$ répondant à la question); puis posons \[ 2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2. \] Je dis que $(2\omega'_1, 2\DPtypo{\omega_2}{\omega'_2})$ est un couple de périodes équivalentes à~$2\omega_1, 2\omega_2$. En effet les formules \[ 2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, \qquad 2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2 \] montrent manifestement que \emph{tous} les sommets du réseau~$R'$ %% -----File: 020.png---Folio 16------- des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ se trouvent \emph{parmi} les sommets du réseau~$R$ des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Mais ces équations, résolues par rapport à $2\omega_1, 2\omega_2$, donnent, si l'on tient compte de ce que le déterminant $ad - bc$ est égal à~$± 1$, \[ 2\omega_1 = ±( 2d \omega'_1 - 2b \omega'_2), \qquad 2\omega_2 = ±(-2c \omega'_1 + 2a \omega'_2). \] Ces nouvelles formules, où les coefficients de $\omega'_1, \omega'_2$ sont des \emph{entiers}, prouvent que \emph{tous} les sommets du réseau~$R$ se trouvent parmi les sommets de~$R'$. Les deux réseaux ont donc exactement les mêmes sommets, \cqfd \Subparagraph{L'aire de chaque parallélogramme du nouveau réseau est égale à l'aire de chaque parallélogramme de l'ancien.} En effet si l'on pose \begin{align*} 2\omega_1 &= \alpha_1 + \beta_1 i, & 2\omega_2 &= \alpha_2 + \beta_2 i, \\ 2\omega'_1 &= \alpha'_1 + \beta'_1 i, & 2\omega'_2 &= \alpha'_2 + \beta'_2 i, \end{align*} l'aire du parallélogramme des nouvelles périodes est égale à \begin{align*} \lvert \alpha'_1 \beta'_2 - \alpha'_2 \beta'_1 \rvert &= \lvert (a \alpha_1 + b \alpha_2) (c \beta_1 + d \beta_2) - (c \alpha_1 + d \alpha_2) (a \beta_1 + b \beta_2) \rvert \\ &= \lvert (ad - bc) (\alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2) \rvert = \lvert \alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2 \rvert, \end{align*} ce qui démontre bien que les mailles des deux réseaux sont équivalentes. \ctb %% -----File: 021.png---Folio 17------- \Chapter[Transformation des fonctions elliptiques]% {II}{Transformation des fonctions elliptiques\protect\footnotemark} \footnotetext{On peut, dans une première lecture, sauter ce chapitre, dont la place naturelle nous a semblé être immédiatement après l'étude des périodes et des réseaux.} \Paragraph{6.}{Enoncé du problème de la transformation.} --- Une fonction elliptique $f(u, \omega_1, \omega_2)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ est connue en tout point du plan si l'on connaît la succession des valeurs qu'elle prend dans l'un des parallélogrammes construits sur ces deux périodes, par exemple, pour fixer les idées, dans celui qui contient l'origine. La succession de ces valeurs elle-même est complètement déterminée quand on se donne certains éléments en nombre fini. Ainsi $f(u, \omega_1, \omega_2)$ est déterminée quand on se donne, à l'intérieur du parallélogramme en question, ses pôles, ses zéros, leur ordre de multiplicité, et de plus la valeur~$f_0$ de la fonction pour $u = 0$ (si cette fonction est finie à l'origine) ou, si l'origine est un pôle, la valeur~$C$ du terme constant dans le développement de la partie infinie (voir plus loin, \Ord{1}{re}~partie, ch.~III, 13). %[xref] Si la position des zéros et des pôles ainsi que la valeur~$f_0$ (ou~$C$) sont des fonctions données des périodes, on peut se demander quelle relation existe entre $f(u, \omega_1, \omega_2)$ et la fonction $f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées à $2\omega_1, 2\omega_2$ par les relations à coefficients entiers \[ 2\omega_1 = 2a \omega'_1 + 2b \omega'_2, \qquad 2\omega_2 = 2c \omega'_1 + 2d \omega'_2. \] C'est dans la recherche de cette relation que consiste le %% -----File: 022.png---Folio 18------- problème de la \emph{transformation des fonctions elliptiques}. Nous verrons plus loin (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 39) que $f(u_1,\omega_1,\omega_2)$ %[xref] est liée à sa transformée $f(u_1,\omega'_1,\omega'_2)$ par une équation algébrique. \Paragraph{6}{bis. Transformation du premier degré.} --- Lorsque le déterminant $ad - bc$ a pour valeur~$±1$, c'est-à-dire lorsque la substitution d'un couple de périodes à l'autre conserve les sommets du réseau, la transformation est du \emph{premier degré}. Il y a des fonctions elliptiques que n'altère pas la transformation du premier degré. Telle est celle que Weierstrass a nommée~$\wp u$. Cette fonction~$\wp u$ a, à l'origine, un pôle double, sans résidu, avec l'unité pour coefficient du terme de degré~$-2$; elle n'a pas d'autre pôle à l'intérieur du parallélogramme des périodes qui contient l'origine, enfin la différence $\wp u - \dfrac{1}{u^2}$ s'annule avec~$u$. Ces conditions, comme nous le verrons, suffisent pour déterminer~$\wp u$. Or $\wp u$~conserve sa valeur au point~$u$ lorsqu'on change les périodes en gardant les sommets du réseau. C'est une propriété dont ne jouissent pas les fonctions elliptiques autrefois introduites dans la science par Abel et Jacobi, et c'est là un des avantages de la fonction~$\wp u$ sur ces anciennes fonctions. \Paragraph{7.}{Transformations d'un degré quelconque.} --- Lorsque le déterminant $ad - bc$ est égal, en valeur absolue, à un entier~$n$, on dit que la transformation est \emph{de degré~$n$}. Quand $n$~est plus grand que~$1$, le problème de la transformation peut être simplifié: au lieu d'effectuer d'un coup la transformation la plus générale du degré~$n$, on obtient le même résultat en effectuant successivement quatre transformations beaucoup plus faciles. La première de ces quatre transformations consiste à conserver l'une des périodes et à remplacer l'autre par la %% -----File: 023.png---Folio 19------- $\theta$\ieme~partie de sa valeur, $\theta$~étant le plus grand commun diviseur de~$a$ et de~$b$. La deuxième transformation est du premier degré. La troisième aussi. La quatrième consiste à remplacer l'une des périodes par la $n'$\ieme~partie de sa valeur $\left(n' = \dfrac{n}{\theta}\right)$ en conservant l'autre période. Démontrons tout ceci. Si $a', b'$ sont les quotients (nécessairement premiers entre eux) de $a, b$ par leur plus grand commun diviseur~$\theta$, la transformation proposée pourra être mise sous la forme \[ \left\{ \begin{aligned} \omega_1 &= \theta a' \centerdot \omega'_1 + \theta b' \centerdot \omega'_2,\\ \omega_2 &= c\omega'_1 + d\omega'_2, \end{aligned} \right. \] et, si l'on pose $\dfrac{\omega_1}{\theta} = \Omega_1$, $\omega_2 = \Omega_2$, celle-ci pourra être remplacée par les deux suivantes effectuées l'une après l'autre \[ (1)\quad \left\{ \begin{aligned} \omega_1 &= \DPtypo{\theta_{\Omega_1}}{\theta\Omega_1},\\ \omega_2 &= \Omega_2, \end{aligned} \right. \qquad \text{et} \qquad (1')\quad \left\{ \begin{aligned} \Omega_1 &= a'\omega_1' + b'\omega_2',\\ \Omega_2 &= c \omega_1' + d \DPtypo{\omega'}{\omega'_2}. \end{aligned} \right. \] La transformation~\Eqref{(1)} est la première des quatre transformations annoncées; on y conserve la période~$\omega_2$ et l'on y remplace~$\omega_1$ par~$\dfrac{\omega_1}{\theta}$. II nous faut maintenant décomposer en trois autres la transformation~\Eqref{(1')} au déterminant \[ a'd -b'c = \frac{ad - bc}{\theta} = \frac{n}{\theta} = n'. \] \emph{Tous} les sommets du réseau~$\R$ des périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ se trouvent \emph{parmi} les sommets plus nombreux du réseau~$R'$ des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$. Mais nous allons montrer que, sur la direction~$2\Omega_1$, ne se trouve aucun sommet de~$R'$ %% -----File: 024.png---Folio 20------- autre que ceux qui appartiennent déjà à~$\R$\@. Ce fait important résulte de ce que $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux. En effet, si l'un des sommets du réseau~$R'$ est à l'origine (ce qu'on peut toujours supposer), tous les autres sont compris dans l'expression $2\alpha\omega'_1 + 2\beta\omega'_2$ où $\alpha$~et~$\beta$ sont des entiers. S'il y avait $q$~de ces sommets sur la direction~$2\Omega_1$ entre deux sommets consécutifs du réseau~$\R$, l'expression de tous ces sommets serait $\dfrac{p}{q}\,2\Omega_1$, et comme $\Omega_1 = a'\omega'_1 + b'\omega'_2$, il existerait des valeurs entières $\alpha, \beta$ pour lesquelles on aurait \[ \alpha\omega'_1 + \beta\omega'_2 = \frac{pa'}{q}\, \omega'_1 + \frac{pb'}{q}\, \omega'_2. \] Or ceci est impossible, car si l'on prend $p$~premier avec~$q$, comme $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux, les nombres $\dfrac{pa'}{q}, \dfrac{pb'}{q}$ ne peuvent être l'un et l'autre des entiers. Ce point acquis, conservons la période~$2\Omega_1$, que nous appellerons~$2O_1$, et associons-lui une nouvelle période~$2O_2$ de façon à conserver les sommets du réseau~$\R$\@. Les formules de transformation devront être \[ \Tag{(2)} \left\{ \begin{aligned} \Omega_1 &= O_1, \\ \Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, \end{aligned} \right. \] pour que le déterminant de la transformation soit égal à~$1$. Cherchons maintenant à déterminer la direction~$O_2$ de telle façon que, si nous substituons à $2\omega'_1, 2\omega'_2$ deux nouvelles périodes $2O'_1, 2O'_2$ ayant respectivement les mêmes directions que $2O_1, 2O_2$, les sommets du réseau~$R'$ soient conservés. Les formules de transformation seront \[ \Tag{(3)} \left\{ \begin{aligned} O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2,\\ O'_2 &= p\omega'_1 + q\omega'_2, \end{aligned} \right. \qquad a'q - b'p = 1. \] La première de ces relations résulte de ce que, les deux %% -----File: 025.png---Folio 21------- réseaux $\R$~et~$R'$ ayant les mêmes sommets sur la direction~$2O_1$, on doit avoir $2O'_1 = 2O_1$. Or \[ O_1 = \Omega_1 = a'\omega' + b'\omega'. \] Enfin la coïncidence des deux directions $2O_1$~et~$2O'_1$ et celle des deux directions $2O_2, 2O'_2$ s'exprimeront par les équations \[ \Tag{(4)} \left\{ \begin{aligned} O_1 &= O'_1, \\ O_2 &= \lambda O'_2. \end{aligned} \right. \] Tout ceci entraîne des équations de condition entre les inconnues $\mu, p, q, \lambda$, et ces équations devront pouvoir être résolues en nombres entiers par rapport à ces quatre lettres. Par la seconde des formules~\Eqref{(3)}, $O'_2$~se trouve exprimé en fonction de $\omega'_1, \omega'_2$. Exprimons $O_2$ au moyen des mêmes périodes. Des relations \Eqref{(2)}~et~\Eqref{(1')} nous tirons \[ O_2 = \Omega_2 - \mu\Omega_1 = (c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2). \] Substituant dans la dernière formule~\Eqref{(4)} ces expressions de $O_2, O'_2$, on a \[ (c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2) = \lambda(p\omega'_1 + q\omega'_2). \] Les périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ ne pouvant être liées par une relation linéaire et homogène à coefficients entiers, il faut que l'on ait \[ \begin{aligned} c - \mu a' &= \lambda p, \\ d - \mu b' &= \lambda q, \end{aligned} \qquad \text{avec} \qquad a'q - b'p = 1. \] Ce sont là trois équations qui doivent livrer des valeurs entières pour $\lambda, \mu, p, q$. Éliminant~$\mu$ entre les deux premières, on trouve \[ \lambda(aq - bp) = a'd - b'c, \] c'est-à-dire~$\lambda = n'$. La première équation donne alors %% -----File: 026.png---Folio 22------- \begin{align*} \mu = \frac{c - n'p}{a'} = \frac{c - (a'd - b'c)p}{a'} &= \frac{c(1 + b'p)}{a'} - pd \\ &= c \frac{a'q}{a'} - pd = cq - dp. \end{align*} On trouve bien pour $\mu$ une valeur entière. Enfin $p$~et~$q$ ne sont assujettis qu'à la condition \[ a'q - b'p = 1 \] vérifiée par une infinité de nombres entiers. Résumons-nous et concluons. On veut effectuer sur la fonction elliptique~$f(u)$ la transformation générale du degré~$n$ \[ \left\{ \begin{aligned} \omega_1 &= a\omega'_1 + b\omega'_2, \\ \omega_2 &= c\omega'_1 + d\omega'_2, \end{aligned} \right. \] c'est-à-dire qu'on cherche la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. On commencera par faire la transformation particulière de degré~$\theta$ \[ \Tag{(1)} \left\{ \begin{aligned} \omega_1 &= \theta\Omega_1, \\ \omega_2 &= \Omega_2, \end{aligned} \right. \] c'est-à-dire qu'on cherchera la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\Omega_1,\Omega_2) = f\left(u,\dfrac{\omega_1}{\theta},\omega_2\right)$; $\theta$~est le plus grand commun diviseur de $a$~et~$b$. On déterminera les quotients $a', b'$ de $a, b$ par~$\theta$; on prendra deux nombres $p, q$ assujettis à la condition \[ a'q - b'p = 1, \] et l'on calculera le nombre $\mu = cq - dp$. Cela fait, on effectuera la transformation du premier degré \[ \Tag{(2)} \left\{ \begin{aligned} \DPtypo{\Omega}{\Omega_1} &= O_1, \\ \Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, \end{aligned} \right. \] qui donnera la relation entre $f(u,\Omega_1,\Omega_2)$ et $f(u,O_1,O_2)$. %% -----File: 027.png---Folio 23------- D'autre part, on fera la transformation du premier degré \[ \Tag{(3)} \left\{ \begin{aligned} O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2, \\ O'_2 &= p \omega'_1 + q \omega'_2. \end{aligned} \right. \] On aura ainsi la relation entre $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$ et $f(u,O'_1,O'_2)$. Enfin, on réalisera la transformation particulière de degré~$n'$ \[ \Tag{(4)} \left\{ \begin{aligned} O_1 &= O'_1, \\ O_2 &= n'O'_2, \end{aligned} \right. \] qui fournit la relation entre $f(u,O_1,O_2)$ et \[ f(u, O'_1, O'_2) = f\left(u, O_1, \frac{O_2}{n'} \right). \] En rapprochant les résultats de ces opérations, on aura la relation cherchée entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. Ainsi se trouve justifié tout ce que nous avions annoncé. Le problème est particulièrement simple pour la fonction~$\wp u$. Nous avons dit en effet qu'une transformation du premier degré ne change pas la valeur de cette fonction. On a donc \begin{align*} \wp(u,\Omega_1, \Omega_2) &= \wp(u,O_1, O_2), \\ \wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= \wp(u,O'_1,O'_2). \end{align*} Nous établirons dans la suite que, si l'on divise une des périodes par un entier~$\nu$, la nouvelle fonction~$\wp u$ est une fonction rationnelle~$R_\nu$ de degré~$\nu$ de l'ancienne. Par conséquent, \begin{align*} \wp(u,\Omega_1,\Omega_2) &= \wp\left(u,\frac{\omega_1}{\theta},\omega_2 \right) = R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ \wp(u,O'_1,\DPtypo{O_2}{O'_2}) &= \wp\left(u,O_1,\frac{O_2}{n'} \right) = R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; \end{align*} c'est-à-dire, en vertu des relations qui précèdent, \begin{align*} \wp(u,O_1,O_2) &= R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ \wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; \end{align*} %% -----File: 028.png---Folio 24------- d'où résulte manifestement que $\wp(u,\omega'_1,\omega'_2)$ est une \emph{fonction rationnelle} du degré $n'\theta = n$ de~$\wp(u,\omega_1,\omega_2)$. Nous avons donc réduit le problème général de la transformation de la fonction~$\wp u$ au problème de la \emph{division des périodes} de cette fonction, problème que la suite de la théorie nous enseignera à résoudre. \ctb %% -----File: 029.png---Folio 25------- \Chapter{III}{Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques} \begin{Theorem}{8.} --- Une fonction elliptique entière se réduit à une constante. \end{Theorem} Car son module reste fini dans un parallélogramme des périodes et, à cause de la périodicité, dans tout le plan. Or une fonction analytique uniforme dont le module reste partout fini se réduit nécessairement à une constante. \begin{Theorem}{9.} --- La somme des résidus d'une fonction elliptique~$f(u)$ par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes est égale à zéro. \end{Theorem} Car cette somme est, d'après un théorème général de Cauchy, égale à l'intégrale $\displaystyle\frac{1}{2\pi{i}}\int f(u)\,du$ prise dans le sens direct autour du parallélogramme. Or cette intégrale est nulle, car deux éléments différentiels $f(u)\, du$, qui correspondent à deux points homologues sur deux côtés opposés, sont égaux et de signe contraire. \Paragraph{10.}{Ordre d'une fonction elliptique.} --- L'\emph{ordre} d'une fonction elliptique est le nombre des pôles qu'elle possède dans un parallélogramme des périodes, un pôle multiple comptant pour autant de pôles qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. \Subparagraph{Cet ordre est au moins égal à~$2$.} --- Car si la fonction n'avait qu'un pôle simple, le résidu correspondant à ce %% -----File: 030.png---Folio 26------- pôle étant différent de zéro, la somme des résidus ne serait pas nulle. \begin{Theorem}{11.} --- Si une fonction elliptique~$f(u)$ est d'ordre~$n$, l'équation $f(u) = c$, où $c$~est une constante quelconque, a, dans le parallélogramme des périodes, $n$~racines (égales ou inégales). \end{Theorem} Car les pôles de la fonction $f(u) - c$, étant les mêmes que ceux de~$f(u)$, sont au nombre de~$n$. D'autre part, si $m$~désigne le nombre des racines de l'équation \[ f(u) - c = 0, \] la différence $m - n$ est égale, comme nous l'apprend un théorème de Cauchy, à l'intégrale \[ \frac{1}{2\pi i} \int\frac{f'(u)}{f(u) - c}\, du \] prise dans le sens direct autour du parallélogramme. La fonction $\dfrac{f'(u)}{f(u) - c}$ étant périodique comme~$f(u)$, cette intégrale est nulle. Donc $m = n$, \cqfd \begin{Theorem}{12.} --- Dans un parallélogramme des périodes, la somme des zéros d'une fonction elliptique est égale à celle de ses pôles, augmentée d'une période convenable. \end{Theorem} Car la différence entre la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dots$ de ces zéros et la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots$ de ces pôles est donnée (Cauchy) par l'intégrale \[ \beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du \] % [Ilustration:] \begin{wrapfigure}{l}{2in} \Input[2in]{030a} \end{wrapfigure} prise dans le sens direct autour du parallélogramme. Si pour un instant on désigne $\dfrac{uf'(u)}{f(u)}$ par~$F(u)$ et que dans l'intégrale~$\int F(u)\, du$ on groupe deux par deux les éléments %% -----File: 031.png---Folio 27------- correspondants sur les côtés opposés, on aura \[ \int F(u)\, du = \int_{O'A} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_2)\bigr]\, du - \int_{O'B} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_1)\DPtypo{}{\bigl]}\,du\DPtypo{\bigl]}{}. \] Or \begin{align*} F(u) - F(u + 2\omega_2) &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} - (u + 2\omega_2)\, \frac{f'(u + 2\omega_2)}{f(u + 2\omega_2)} = -2\omega_2\, \frac{f'(u)}{f(u)}, \\ F(u) - F(u + 2\omega_1) &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} - (u + 2\omega_1)\, \frac{f'(u + 2\omega_1)}{f(u + 2\omega_1)} = -2\omega_1\, \frac{f'(u)}{f(u)}. \end{align*} Il en résulte \[ \int F(u)\, du = -2\omega_2 \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du + 2\omega_1 \int_{O'}^{O' + 2\omega_2} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du. \] Mais, $\dfrac{f'(u)}{f(u)}$ reprenant la même valeur aux deux limites $O', O' + 2\omega_1$ (ou $O', O' + 2\omega_2$), $\log f(u)$, qui représente l'intégrale $\displaystyle\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du$, doit ou bien avoir repris la même valeur ou s'être accrû d'un multiple de~$2\pi i$. Par suite \[ \int F(u)\, du = -2\omega_2 \centerdot 2m_2\pi i + 2\omega_1\centerdot 2m_1\pi i. \] Cette valeur de $\int F(u)\, du$, c'est-à-dire de $\displaystyle\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du$, substituée dans la formule qui exprime la différence \[ \beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) \] donne finalement \[ \beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) = 2m_1\omega_1 - 2m_2\omega_2, \] ce qui démontre notre proposition. \begin{Theorem}{13.} --- Une fonction elliptique est déterminée à un facteur constant près par ses périodes, ses pôles et ses zéros donnés avec leur degré de multiplicité. \end{Theorem} Car si deux fonctions elliptiques $f(u)$~et~$\varphi(u)$ ont les mêmes périodes, les mêmes pôles et les mêmes zéros, leur quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, étant nécessairement une fonction elliptique %% -----File: 032.png---Folio 28------- entière, se réduit à une constante~$C$. On a donc \[ f(u) = C\varphi(u). \] \begin{Theorem}{14.} --- Une fonction elliptique est déterminée à une constante additive près quand on donne ses périodes, ses pôles et le développement de sa partie infinie autour de chacun d'eux. \end{Theorem} Car si $f(u)$~et~$\varphi(u)$ sont deux fonctions elliptiques ayant mêmes périodes, mêmes pôles et même partie infinie autour de chaque pôle, la différence $f(u) - \varphi(u)$, qui est une fonction elliptique entière, doit se réduire à une constante~$C$. On a donc \[ f(u) = \varphi(u) + C. \] Jusqu'ici nous avons admis l'existence des fonctions elliptiques. Il nous reste à prouver cette existence, et nous ne pouvons le faire qu'en construisant de pareilles fonctions. \ctb %% -----File: 033.png---Folio 29------- \Part{Deuxième Partie}{La fonction $\wp u$} %% -----File: 034.png---Folio 30------- % [Blank Page] %% -----File: 035.png---Folio 31------- \Chapter{I}{Construction et propriétés de la fonction $\wp u$} \Paragraph{15.}{Construction de $\wp u$.} --- La plus simple de toutes les fonctions elliptiques a été réalisée par Weierstrass. Elle est du second ordre; elle a un pôle double sans résidu à l'origine et par conséquent en tous les points \[ w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \] $2\omega_1, 2\omega_2$ désignant les périodes données; dans le voisinage du pôle~$w$, sa partie infinie se réduit à~$\dfrac{1}{(u-w)^2}$. Nous savons maintenant que ces conditions déterminent la fonction cherchée~$\wp u$ à une constante additive près. On réalise cette fonction au moyen de la série à double entrée \[ \wp u = \frac{1}{u^2} + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], \] où la sommation s'étend à tous les systèmes de valeurs entières attribuées à~$m_1$ et à~$m_2$, le seul système $m_1 = m_2 = 0$ excepté. Les termes constants~$\dfrac{1}{w^2}$ ont été retranchés des termes $\dfrac{1}{(u-w)^2}$ pour rendre la série convergente, comme nous allons le montrer. Admettant provisoirement cette convergence, nous voyons que le développement admet les deux périodes $2\omega_1$~et~$2\omega_2$, %% -----File: 036.png---Folio 32------- car le changement de~$u$ en $u + 2\omega_1$ ou $u + 2\omega_2$ n'a d'autre effet que d'en permuter les termes. La série qui définit~$\wp u$ est absolument et uniformément convergente dans toute région du plan qui ne contient aucun des points $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. En effet le terme général peut être écrit \[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} = \frac{2uw - u^2}{w^2(u - w)^2} = \frac{2u - \dfrac{u^2}{w}}{\left(1 - \dfrac{u}{w}\right)^2} · \frac{1}{w^3}. \] Le terme qui multiplie~$\dfrac{1}{w^3}$ a un module fini en tous les points autres que les points~$w$. Il suffit donc d'établir la convergence absolue de la série~$\displaystyle\sum \frac{1}{w^3}$ ou plus généralement de \[ \sum \frac{1}{w^\lambda} = \sum \frac{1}{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)^\lambda}, \] lorsque $\lambda$~est un nombre réel plus grand que~$2$. Or la série des modules des différents termes a pour terme général \[ \frac{1}{\bigl[(\alpha_1m_1 + \alpha_2m_2)^2 + (\beta_1m_1 + \beta_2m_2)^2 \bigr]^{\frac{\lambda}{2}}}, \] $\alpha_1, \alpha_2$ désignant les parties réelles et $\beta_1, \beta_2$ les parties imaginaires de~$2\omega_1, 2\omega_2$. Celle-ci sera convergente en même temps que la série plus simple \[ S = \sum \frac{1}{[m_1^2 + m_2^2]^\frac{\lambda}{2}}, \] car, si l'on pose $\dfrac{m_2}{m_1} = \mu$, le rapport des termes correspondants ne dépend que de~$\mu$ et ce rapport \[ \left[\frac{(\alpha_1 + \alpha_2\mu)^2 + (\beta_1 + \beta_2\mu)^2} {1 + \mu^2} \right]^\frac{\lambda}{2} \] ne devient jamais, quel que soit~$\mu$, ni nul ni infini. %% -----File: 037.png---Folio 33------- Nous sommes donc ramenés à étudier la série double~$S$\@. En laissant de côté les valeurs négatives de $m_1, m_2$, nous pouvons la considérer comme la somme de quatre autres: la première, simple, comprenant tous les termes où $m_1 = 0$; la deuxième, simple aussi, formée de tous les termes où $m_2=0$; la troisième, double, formée de tous les termes où $m_2\geq m_1$; la quatrième, double, formée de tous les termes où $m_1\geq m_2$; en sorte que \begin{multline*} S = \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_1^\lambda} + \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_2^\lambda} + \sum_{m_1=1}^{m_1=\infty}\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}} \\ + \sum_{m_2=1}^{m_2=\infty}\sum_{m_1=m_2}^{m_1=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}. \end{multline*} Par raison de symétrie la première et la seconde de ces quatre séries sont égales entre elles, la troisième et la quatrième aussi égales entre elles. D'ailleurs la première série est, on le sait, convergente pour~$\lambda>1$. Nous n'avons plus à étudier que la troisième série, qui est double. Occupons-nous d'abord de la série simple \[ \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}, \] où $m_1$~est fixe. Son terme général est inférieur à~$\dfrac{1}{m_2^\lambda}$. Or la série dont le terme de rang~$m_2 - m_1$ est $\dfrac{1}{m_2^\lambda}$~a une somme de même ordre que l'intégrale $\displaystyle\int_{m_1}^{\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ (règle de Cauchy). Comme $\lambda$~doit être plus grand que~$1$, cette intégrale a pour valeur $\dfrac{1}{\lambda-1}\,\dfrac{1}{m_1^{\lambda-1}}$. On peut donc écrire, $K$~étant un nombre %% -----File: 038.png---Folio 34------- fini, \[ \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} < K\, \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. \] Il faut maintenant donner à~$m_1$ toutes les valeurs entières de $1$~à~l'infini, et faire la somme des quantités ainsi obtenues; on aura \[ \sum_{m_1=1}^{m_1=\infty} \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} < K \sum_{m_1=\DPtypo{\infty}{1}}^{m_1=\infty} \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. \] Mais la série qui figure au second membre converge pour $\lambda-1 > 1$, c'est-à-dire pour $\lambda>2$,~\cqfd La convergence absolue de la série~$\wp u$ en tout point~$u$ qui ne coïncide pas avec un des points~$w$ se trouve ainsi établie. La série est de plus uniformément convergente, car nous avons ramené la question de sa convergence à celle de la convergence de la série~$\displaystyle\sum\frac{1}{w^3}$, laquelle a ses termes indépendants de~$u$. \Paragraph{16.}{Double périodicité de $\wp u$.\ --- Parité.\ --- Homogénéité.\ --- Invariance dans toutes les transformations du premier degré.} --- \primo Nous avons déjà mis en évidence la double périodicité de~$\wp u$. Les deux périodes sont $2\omega_1, 2\omega_2$. \secundo \textit{La fonction~$\wp u$ est paire.} Car, dans la série qui la représente, nous avons le droit d'écrire~$-w$ au lieu de~$w$, ce qui ne fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors nous changeons~$u$ en~$-u$, nous obtenons \[ \wp(-u) = \frac{1}{(-u)^2} + \sum \left[\frac{1}{(-u + w)^2} - \frac{1}{(-w)^2}\right], \] expression visiblement identique à~$\wp u$. \tertio Considérée comme fonction des trois quantités $u, 2\omega_1, 2\omega_2$, $\wp u$~est homogène et de degré~$-2$. %% -----File: 039.png---Folio 35------- \quarto Construisons deux fonctions~$\wp u$: l'une $\wp(u, \omega_1, \omega_2)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$; l'autre $\wp(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux précédentes par les relations \[ 2\omega'_1 = a \centerdot 2\omega_1 + b \centerdot 2\omega_2, \qquad 2\omega'_2 = c \centerdot 2\omega_1 + d \centerdot 2\omega_2, \] où le déterminant $ad - bc$ est supposé égal à~$±1$. Nous avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~5) que le réseau des périodes %[xrefs] $2\omega'_1, 2\omega'_2$ a exactement les mêmes sommets que celui des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Or il est évident que la valeur de la série~$\wp u$ en un point~$u$ du plan ne dépend que des sommets du réseau; car si l'on change les périodes en conservant les sommets, les quantités~$w$ ne font que se permuter; donc \[ \wp(u, \omega'_1, \omega'_2) = \wp(u, \omega_1, \omega_2). \] Ainsi se trouve établi l'important résultat que nous avons annoncé (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II,~6): \emph{$\wp u$~reste invariable pour toute transformation de degré~$1$.} \Paragraph{17.}{Développement de~$\wp u$ suivant les puissances de~$u$.} --- Les pôles de~$\wp u$ sont les points \[ u = w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Ils sont doubles. Aux environs de $u = 0$, on a \[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} = \frac{1}{w^2} \left(1 - \frac{u}{w}\right)^{-2} - \frac{1}{w^2} = \frac{2u}{w^3} + \frac{3u^2}{w^4} + \frac{4u^3}{w^5} + \dots\DPtypo{}{.} \] Faisons la somme pour toutes les valeurs de~$w$; remarquons que les puissances impaires de~$u$ doivent se détruire; enfin, posons pour abréger \[ c_1 = 3\sum\frac{1}{w^4},\qquad c_2 = 5\sum\frac{1}{w^6},\qquad \dots; \] nous obtiendrons l'important développement \[ \wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots \] valable pour tout point~$u$ compris dans tout cercle ayant %% -----File: 040.png---Folio 36------- l'origine pour centre et un rayon moindre que la distance de ce centre au pôle le plus voisin. Observons que ce développement manque de terme constant. Dans le voisinage d'un pôle quelconque~$w$, le développement de~$\wp u$ est \[ \wp u = \frac{1}{(u - w)^2} + c_1(u - w)^2 + c_2(u - w)^4 + \dots\DPtypo{}{.} \] Cette nouvelle forme donnée à la fonction~$\wp u$ montre immédiatement que c'est une fonction analytique. \Paragraph{18.}{Équation algébrique entre $\wp u$~et sa dérivée.} --- Nous avons \begin{align*} \wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots, \\ \wp'u &= \frac{-2}{u^3} + 2c_1u + 4c_2u^3 + \dots\DPtypo{}{.} \end{align*} On voit que la fonction elliptique \[ \wp'^2u - 4\wp^3u = -20c_1\, \frac{1}{u^2} - 28c_2 + \dots \] a un pôle double, sans résidu, à l'origine; elle ne peut d'ailleurs en avoir d'autre dans le parallélogramme des périodes qui contient l'origine. Par conséquent $\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u$ est une fonction entière, et comme c'est une fonction elliptique, elle se réduit à une constante~$-28c_2$ (qu'on obtient en y faisant $u = 0$). Finalement on a \[ \wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u + 28c_2 = 0. \] Telle est l'équation algébrique qui lie $\wp u$~à sa dérivée, et à laquelle on donne une forme plus commode pour les calculs, en posant \begin{align*} g_2 &= 20c_1 = 60 \sum\frac{1}{w^4}, \\ g_3 &= 28c_2 = 140\sum\frac{1}{w^6}, \end{align*} %% -----File: 041.png---Folio 37------- ce qui permet d'écrire \[ {\wp'}_u^2 = 4\wp_u^3 - g_2 \wp u - g_3. \] Tout ce qui va suivre nous montrera l'importance de cette relation. \Paragraph{19.}{Calcul des coefficients du développement de~$\wp u$.} --- La différentiation par rapport à~$u$ des deux membres de l'équation précédente donne, après suppression du facteur~$2\wp'u$, \[ \wp''_u = 6\wp - \frac{1}{2}\, g_2. \] Si l'on substitue dans cette dernière relation le développement \[ \wp u = \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, \] l'identification des termes en~$u^{2n-2}$ donnera \[ c_n = \frac{6}{n(2n-1) - 6}\, (c_1 c_{n-2} + c_2 c_{n-3} + \dots), \] le dernier terme entre parenthèses étant $c_{\frac{n}{2}-1} c_{\frac{n}{2}}$ ou $\dfrac{1}{2} c^2_{\frac{n-1}{2}}$ suivant que $n$~est pair ou impair. Cette formule récurrente permet d'exprimer $c_3, c_4, \dots$ par des polynômes entiers en~$c_1, c_2$. \emph{Tous les coefficients du développement de~$\wp u$ sont donc des polynômes entiers en~$g_2, g_3$.} \Paragraph{20.}{Les trois racines $e_1, e_2, e_3$.} --- Une raison de symétrie nous amène à introduire une troisième période~$2\omega_3$ liée aux deux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ par la relation \[ \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0. \] Posons \[ \wp\omega_1 = e_1, \qquad \wp\omega_2 = e_2, \qquad \wp\omega_3 = e_3. \] Ces trois nombres $e_1, e_2, e_3$ sont les racines de l'équation du \Ord{3}{e}~degré \[ 4\wp^3 - g_2 \wp - g_3 = 0. \] Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'ils annulent~$\wp'u$. Or $\wp'u$~étant doublement périodique et impaire, puisque %% -----File: 042.png---Folio 38------- $\wp u$~est paire, on aura par exemple \[ \wp'\omega_1 = \wp'(\omega_1 - 2\omega_1) = \wp'(-\omega_1) = -\wp'\omega_1 = 0, \] \null\hfill\cqfd\pagebreak[3] Les trois racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes, si, comme nous le supposons, $\omega_1, \omega_2$ et par suite~$\omega_3$ ne sont pas des périodes. Car si $e_3$~par exemple était égal à~$e_1$, on aurait $\wp\omega_3 = \wp\omega_1$, d'où \[ \omega_3 = ±\omega_1 + \text{période} \qquad\text{ou}\qquad \omega_3 \mp \omega_1 = \text{période}, \] ce qui n'est pas, car $\omega_3 + \omega_1 = -\omega_2$, et $\omega_3 - \omega_1 = -2\omega_1 - \omega_2$; or $-\omega_2$~et~$-2\omega_1 - \omega_2$ ne sont ni l'une ni l'autre des périodes. Les quantités $e_1, e_2, e_3$, d'après les relations qui les définissent \[ \wp\omega_1 = \frac{1}{\omega_1^2} + \sum\left[ \frac{1}{(\omega_1 - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], \quad \wp\omega_2 = \dots, \quad \wp\omega_3 = \dots, \] sont homogènes et du degré~$-2$ par rapport aux périodes. Elles satisfont aux relations \[ e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad e_1 e_2 + e_3 e_2 + e_3 e_1 = -\frac{1}{4}\, g_2, \quad e_1 e_2 e_3 = \frac{1}{4}\, g_3. \] \Paragraph{21.}{Invariants de~$\wp u$.} --- Lorsqu'on change les périodes en conservant les sommets du réseau, les coefficients $g_2, g_3$, d'après leur définition (ci-dessus,~18), conservent leur valeur. %[xref] Ce sont des \emph{invariants} du réseau dans toute transformation du premier degré. Deux autres invariants sont à considérer: \primo Le discriminant \[ \Delta = 16 (e_1 - e_2)^2 (e_2 - e_3)^2 (e_3 - e_1)^2 = g_2^3 - 27 g_3^2. \] Il n'est jamais nul puisque les racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes. Il est d'ordre~$-12$ par rapport aux périodes; \secundo L'invariant absolu \[ J = \frac{g_2^3}{\Delta}. \] %% -----File: 043.png---Folio 39------- Il est d'ordre zéro, et par suite il ne dépend que du rapport $\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes. Il reste invariable si l'on change $\tau$~en $\dfrac{a + b\tau}{c + d\tau}$ ($ad-bc = ±1$). \ctb %% -----File: 044.png---Folio 40------- \Chapter{II}{La fonction $\wp u$ définie par une équation différentielle} \Paragraph{22.}{Position du problème.} --- Nous avons vu que la fonction~$\wp u$ satisfait à une équation différentielle \[ \left(\frac{d\wp}{du}\right)^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3, \] dont les coefficients constants $g_2, g_3$, qui vérifient l'inégalité \[ \Delta = g^3_2 - 27g^2_3 \neq 0, \] peuvent être calculés au moyen des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Inversement, donnons-nous \textit{a~priori} l'équation différentielle \[ \left(\frac{dz}{du}\right)^2 = 4z^3 - g_2z - g_3. \] Nous allons montrer qu'elle admet pour intégrale particulière une fonction~$\wp u$ dont nous déterminerons une période en fonction de $g_2, g_3$. Figurons dans le plan de la variable complexe~$z$ les trois racines $e_1, e_2, e_3$ de l'équation \[ Z = 4z^3 - g_2z - g_3 = 0. \] Elles sont distinctes, car nous supposons \[ g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0. \] %% -----File: 045.png---Folio 41------- % [Ilustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.25in} \Input[1.25in]{045a} \end{wrapfigure} Nous les avons numérotées dans l'ordre où on les rencontre en tournant dans le sens direct autour du triangle $e_1e_2e_3$. Partons d'un point quelconque~$z_0$. En ce point le radical a deux valeurs égales et de signe contraire $+\sqrt{Z_0}$~et~$-\sqrt{Z_0}$. D'après le théorème fondamental de la théorie des équations différentielles, il existe une fonction analytique~$z$ de~$u$ qui satisfait à l'équation \[ \frac{dz}{du} = \sqrt{Z} \] et qui pour $u = u_0$ se réduit à~$z_0$, le radical~$\sqrt{Z}$ prenant en même temps la détermination~$+\sqrt{Z_0}$ par exemple ($u_0$~est donné arbitrairement). % [Ilustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.5in} \Input[1.5in]{045b} \end{wrapfigure} Si l'on marque le point~$u_0$ dans le plan de la variable complexe~$u$, la fonction~$z$ de~$u$ sera uniforme et continue dans un cercle décrit du centre~$u_0$ avec un rayon~$\rho_0$ que la théorie enseigne à calculer. On peut déterminer de proche en proche la valeur que prendra cette fonction~$z$ en un point quelconque~$u'$ joint au point~$u_0$ par un chemin~$L$. Il suffit de calculer la valeur~$z'_0$ que prend~$z$ en un point~$u'_0$ situé à la fois sur~$L$ et dans le cercle de rayon~$\rho_0$. Le théorème fondamental que nous venons de rappeler prouve l'existence d'une fonction~$z$ se réduisant à~$z'_0$ pour $u = u'_0$, uniforme et continue dans un cercle de centre~$u'_0$ et de rayon~$\rho'_0$. Il est clair qu'en procédant ainsi de proche en proche, on arrivera jusqu'au point~$u'$ avec une valeur bien déterminée~$z'$ de la fonction. Le raisonnement tomberait en défaut si les rayons $\rho_0, \rho'_0, \dots$ tendaient vers zéro, auquel cas on aboutirait à un point limite~$u_1$ situé sur le chemin~$L$ entre $u_0$~et~$u'$, et qu'on ne pourrait plus dépasser. %% -----File: 046.png---Folio 42------- Mais la théorie nous renseigne sur la grandeur du rayon~$\rho_0$ du cercle de centre~$u_0$ où l'on peut affirmer l'existence et l'uniformité de l'intégrale d'une équation différentielle \[ \frac{dz}{du} = f(u,z) \] dont le second membre est une fonction uniforme et continue de~$z$, $u$~dans le voisinage de $u=u_0$, $z=z_0$. Ce rayon n'est très petit que si le module de~$f(u, z)$ est très grand dans ce voisinage et que si les valeurs $u$,~$z$ critiques pour~$f(u, z)$ sont très rapprochées de $u_0$,~$\DPtypo{v_0}{z_0}$. Or, dans le cas actuel, $f(u, z) = \sqrt{Z}$ ne peut évidemment tendre vers l'infini que si $z$~y tend lui-même. Les points~$u_1$ où le prolongement de la fonction~$z$ pourrait être arrêté sont donc ceux où $z$~devient infini et ceux où $z$~prend une des valeurs $e_1, e_2, e_3$, critiques pour~$\sqrt{Z}$. Nous allons prouver: \primo que les premiers sont isolés (on pourra donc toujours les éviter); \secundo que les derniers ne sont pas des points critiques pour~$z$. Rien n'empêchera donc de prolonger la fonction dans tout le plan des~$u$. \Paragraph{23.}{La fonction~$z$ de~$u$ est uniforme et fractionnaire.} --- Supposons donc que, pour $u = u_1$, $z$~devienne infini. Posons $z = \dfrac{1}{t^2}$; l'équation différentielle devient \[ -\frac{2\, dt}{du} = \sqrt{4 - g_2t^4 - g_3t^6}. \] Le radical ne s'annule pas pour $t = 0$; la détermination que l'on considère est donc une fonction de~$t$ uniforme et continue dans le voisinage de $t=0$. Par conséquent l'équation différentielle ci-dessus définit une fonction~$t$ de~$u$ elle-même uniforme et continue dans un cercle de rayon fini décrit du point~$u_1$ comme centre. Or, d'après un théorème connu, la fonction analytique~$t$ ne peut reprendre dans ce cercle une infinité de fois la valeur~$0$, c'est-à-dire que $z$~n'y peut prendre qu'un nombre limité de fois une %% -----File: 047.png---Folio 43------- valeur infinie. Les infinis de~$z$ sont donc isolés dans le plan des~$u$. Nous allons prouver que ce sont des pôles. Pour cela, développons en série le second membre de l'équation précédente; il viendra \[ du = ±\left(1 - \frac{g_2t^4 + g_3t^6}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}dt = ±\left(1 + \frac{g_2}{8}\, t^4 + \frac{g_3}{8}\, t^6 + \dots\right)dt; \] d'où, en intégrant et tenant compte de ce que $t$~doit être nul pour $u=u_1$, \[ u - u_1 = ±t\left(1 + \frac{g_2}{40}\, t^4 + \frac{g_3}{56}\, t^6 + \dots \right) \] et, en résolvant par rapport à~$t$, \[ t = ±(u-u_1)\left[1 - \frac{g_2}{40}\,(u - u_1)^4 + \dots \right]; \] d'où \[ z = \frac{1}{t^2} = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u-u_1)^2 + \dots. \] Ainsi $z$~est uniforme aux environs du point~$u_1$, et ce point~$u_1$ \emph{est un pôle}. Reste à savoir si les points critiques $e_1, e_2, e_3$ de~$\sqrt{Z}$ dans le plan des~$z$ correspondent à des points $u_1, u_2, u_3$ du plan des~$u$ qui soient critiques pour la fonction~$z$. Posons $z = e_1 + t^2$. L'équation différentielle \[ \frac{dz}{du} = \sqrt{Z} = \sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} \] se transforme en \[ \frac{dt}{du} = \sqrt{(e_1 - e_2 + t^2)(e_1 - e_3 + t^2)}. \] La valeur $t = 0$ n'étant pas un point critique pour le nouveau radical, $u_1$~sera un point ordinaire pour la fonction~$t$ de~$u$ et par conséquent pour $z = e_1 + t^2$. De tout ceci résulte que \emph{$z$~est une fonction analytique uniforme et fractionnaire de~$u$}. %% -----File: 048.png---Folio 44------- \Paragraph{24.}{La fonction~$z$ de~$u$ est doublement périodique.} --- A une même valeur~$z'$ de~$z$ l'équation différentielle, qu'on peut écrire \[ du = \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] fait correspondre une infinité de valeurs de~$u$. Cherchons-les. L'équation intégrée donne \[ u = u_0 + \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] le signe de~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par la condition que, pour $z = z_0$, $\sqrt{Z}$~se réduise à~$+\sqrt{Z_0}$. II faut chercher les diverses valeurs que peut prendre cette intégrale %[Ilustration] \begin{wrapfigure}[9]{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.75in]{048a} \end{wrapfigure} lorsqu'on fait varier le fil d'intégration suivi de~$z_0$ à~$z'$. Menons une ligne déterminée~$L$ entre $z_0$~et~$z'$. Puis joignons~$z_0$ aux points $e_1, e_2, e_3$ par des \emph{lacets} $L_1, L_2, L_3$ composés chacun d'une droite, d'un petit cercle et de la même droite parcourue en sens inverse. \Subparagraph{Tout chemin $z_0MNPz'$ amènera la même valeur de~$u$ que le chemin déterminé~$L$ précédé d'un certain nombre de lacets.} Pour le prouver, observons que nous pouvons adjoindre au chemin $z_0MNPz'$ les lignes (pointillées) $\dddot{z_0M}$, $\dddot{z_0N}$, $\dddot{z_0P}$ à condition de les parcourir deux fois en sens inverse, et sans interposer d'autre trajet entre ces deux parcours, qui évidemment donneront une valeur nulle pour l'intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. Rappelons-nous d'autre part que l'intégrale d'une fonction analytique~$f(z)$ a même valeur le long de deux chemins ayant même point de départ et même point d'arrivée, ne passant ni l'un ni l'autre par des points critiques de~$f(z)$, et dont le %% -----File: 049.png---Folio 45------- second peut être obtenu en déformant le premier sans jamais le faire passer par aucun de ces points critiques. Deux pareils chemins sont dits \emph{équivalents}. Cela posé, le chemin $z_0MNPz'$ peut manifestement être remplacé par ces trois-ci parcourus consécutivement: \[ \dddot{z_0M}, MN, \dddot{Nz_0}; \qquad \dddot{z_0N}, NP, \dddot{Pz_0}; \qquad \dddot{z_0P}, Pz'. \] Or d'après la définition des chemins équivalents, il est facile de voir que le premier équivaut à un lacet~$L_2$, le second à un lacet~$L_1$, le troisième au chemin~$L$. L'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se compose des intégrales suivant la droite~$z_0e_1$, suivant le petit cercle de centre~$e_1$, et suivant la ligne de retour~$e_1z_0$. Or, lorsque le point~$z$ a fait une circulation complète autour de~$e_1$, le radical~$\sqrt{Z}$ a simplement changé de signe. Comme $dz$~change de signe également dans le retour, le quotient~$\dfrac{dz}{\sqrt{Z}}$ reprend exactement la même valeur quand $z$~repasse par les mêmes points; il en résulte que \[ \int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{e_1}^{z_0}\frac{dz}{\sqrt{Z}}. \] Quant à l'intégrale le long du petit cercle, elle est nulle; car cette intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$ a son module du même ordre de grandeur que celui de $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{z - e_1}}$, lequel est inférieur à \[ \int \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z - e_1}} = \int\frac{ds}{\sqrt{\rho}}, \] $\rho$~désignant le rayon de la petite circonférence et $ds$~l'élément d'arc. Or \[ \int \frac{ds}{\sqrt{\rho}} = \frac{1}{\sqrt{\rho}} \int ds = \frac{1}{\sqrt{\rho}}\, 2\pi\rho = 2\pi\sqrt{\rho}, \] quantité qui tend vers zéro en même temps que~$\rho$. %% -----File: 050.png---Folio 46------- De tout ceci résulte que l'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se réduit à $2\displaystyle\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. Posons \[ A_1 = \int_{z_0}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad A_2 = \int_{z_0}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad A_3 = \int_{z_0}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] le signe du radical~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par l'obligation imposée à ce radical de se réduire à~$+\sqrt{Z_0}$ pour $z = z_0$; et remarquons que, lorsque le point~$z$ revient en~$z_0$, le radical ne reprend pas la valeur qu'il avait au moment du départ, mais une valeur égale et de signe contraire. De sorte que l'intégrale prise suivant le lacet~$L_1$ est $2A_1$~ou~$-2A_1$ suivant qu'on a décrit avant celui-là un nombre pair ou un nombre impair d'autres lacets. Enfin, la valeur de l'intégrale le long du chemin~$L$ étant désignée par~$I$, \[ I = \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] lorsque la valeur initiale du radical est~$+\sqrt{Z_0}$, cette intégrale aura pour valeur $+I$~ou~$-I$ suivant que $L$~aura été précédé d'un nombre pair ou d'un nombre impair de lacets. Toutes les valeurs de~$u$ répondant à une même valeur de~$z$ sont donc données par la formule \[ u = u_0 + 2n_1A_1 + 2n_2A_2 + 2n_3A_3 + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, \] $n_1, n_2, n_3$ étant des entiers positifs ou négatifs dont la somme est égale à $0$~ou à~$1$ suivant que le nombre des lacets est pair ou impair; car tout lacet qui amène l'intégrale $+2A_i$ ($i$~étant un des nombres $1, 2, 3$) est nécessairement suivi d'un autre amenant l'intégrale $-2A_j$ ($j = 1, 2$ ou~$3$). %% -----File: 051.png---Folio 47------- Posons maintenant \begin{align*} A_3 - A_2 &= \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_1, \\ A_1 - A_3 &= \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_2, \\ A_2 - A_1 &= \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_3, \end{align*} et remplaçons dans la formule précédente $A_1$~par sa valeur $A_3 + \omega_2$ et $A_2$~par $A_3 - \omega_1$; elle deviendra \[ u = u_0 + 2n_1\omega_2 - 2n_2\omega_1 + (n_1+n_2+n_3)2A_3 + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, \] et suivant que $n_1 + n_2 + n_3$ est égal à $0$~ou à~$1$, \begin{gather*} u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + I + u_0\\ u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + 2A_3 - I + u_0. \end{gather*} De là résulte que $z$~est une fonction doublement périodique de~$u$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ déterminées en fonction des constantes $g_2, g_3$ (dont $e_1, e_2, e_3$ sont des fonctions) par les intégrales définies ci-dessus. Comme nous avons vu que $z$~est une fonction analytique, uniforme et fractionnaire, c'est une fonction elliptique. Son ordre est~$2$; car il n'y a dans chaque parallélogramme des périodes que deux valeurs de l'argument qui fassent acquérir à la fonction~$z$ une même valeur. C'est ce que montrent les deux formules ci-dessus qui ne donnent pour~$u$ que deux valeurs \emph{distinctes}, $I + u_0$~et $2A_3 - I + u_0$. \Paragraph{25.}{Pôles de~$z$; $z$~est une fonction~$\wp u$.} --- La fonction elliptique~$z$ étant du second ordre et ses pôles étant doubles, il n'y en aura qu'un dans chaque parallélogramme des périodes.\ --- Cherchons où ils sont situés. La valeur $u_1$ d'un pôle est donnée par la formule \[ u_1 = u_0 + \int_{z_0}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. \] %% -----File: 052.png---Folio 48------- Évaluons cette intégrale, que nous supposons prise le long d'une ligne~$z_0z_1$ aboutissant en un point~$z_1$ d'un cercle~$C$ décrit de~$z_0$ comme centre avec un cercle de rayon infini. La fonction analytique~$\sqrt{Z}$, dont la valeur au point~$z_0$ est bien % [Ilustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.5in]{052a} \end{wrapfigure} déterminée et égale à~$+\sqrt{Z_0}$, est visiblement uniforme et continue dans la région du plan des~$z$ bornée par le cercle~$C$, par la ligne~$z_0z_1$ et par les trois lacets $L_1, L_2, L_3$. Son intégrale suivant ce contour est nulle. Cette intégrale est la somme de six autres, prises: \primo suivant~$z_0z_1$; \secundo suivant~$C$ dans le sens rétrograde; \tertio suivant~$z_1z_0$; \quarto suivant~$L_1$ (c'est le seul lacet qu'on puisse suivre dans la disposition de la figure, sans franchir un autre lacet ou la coupure~$z_0z_1$); \cinqo suivant~$L_2$; \sexto suivant~$L_3$. Quand le point~$z$, après avoir décrit la circonférence~$C$, est revenu en~$z_1$, le radical \[ \sqrt{Z} = \sqrt{(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} \] a changé de signe comme le ferait évidemment le radical plus simple~$\sqrt{z^3}$ qui est la partie principale de~$\sqrt{Z}$ pour les grandes valeurs de~$z$. Il en résulte que \[ \int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] d'où \[ \int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} + \int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = 2\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. \] Lorsque $z$~est revenu en~$z_0$, le radical a pris la valeur~$-\sqrt{Z_0}$; par suite le lacet~$L_1$ amènera la valeur $-2A_1$~de l'intégrale; le lacet~$L_2$ qui vient ensuite, la valeur~$+2A_2$; le lacet suivant~$L_3$ la valeur~$-2A_3$. On aura donc \[ 2\int_{z_0}^{z_1} + \int_C - 2A_1 + 2A_2 - 2A_3 = 0. \] %% -----File: 053.png---Folio 49------- Mais l'intégrale suivant le cercle~$C$ est rigoureusement nulle. Car elle a une valeur fixe quel que soit le rayon~$R$ de ce cercle, et elle est du même ordre que l'intégrale plus simple $\displaystyle\int_C \frac{dz}{\sqrt{z^3}}$, dont le module (si $ds$~désigne un élément de la circonférence) est plus petit que \[ \int_C \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z^3}} = \int \frac{ ds }{R^{\frac{3}{2}}} = \frac{ 1 }{R^{\frac{3}{2}}} · 2\pi R = \frac{2\pi}{R^{\frac{1}{2}}}, \] quantité aussi petite qu'on veut. L'équation ci-dessus, où l'on fait $\displaystyle\int_C = 0$ et où l'on remplace $\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}$ c'est-à-dire $\displaystyle\int_{z_0}^\infty$ par sa valeur $u_1 - u_0$, donne pour valeur du pôle~$u_1$ \[ u_1 = u_0 + A_1 - A_2 + A_3. \] Tous les pôles de~$z$ sont compris dans la formule générale \[ u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2 + u_0 + A_1 - A_2 + A_3. \] Maintenant donnons à la constante d'intégration~$u_0$ la valeur particulière \[ u_0 = -A_1 + A_2 - A_3; \] les pôles seront les points \[ u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2. \] \Subparagraph{Conclusion.} --- $z$~ne sera autre chose que la fonction~$\wp u$ construite sur les deux périodes \[ \omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}},\qquad \omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] car les deux fonctions elliptiques $z$~et~$\wp u$ ont mêmes périodes, mêmes pôles, même partie infinie~$\dfrac{1}{(u - u_1)^2}$ autour de chacun de ces pôles, et de plus même terme constant, savoir zéro, de leur développement dans le voisinage %% -----File: 054.png---Folio 50------- d'un pôle~$u_1$, puisque nous avons trouvé~\Eqref{(23)} \[ z = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u - u_1)^2 + \dots\DPtypo{}{.} \] \Subparagraph{Remarque.} --- Quand le triangle $e_1, e_2, e_3$ devient infiniment aplati, c'est-à-dire quand les trois points $e_1, e_2, e_3$ sont en ligne droite, le calcul des périodes ne présente aucune difficulté particulière. Car si, pour fixer les idées, nous supposons $e_3$~situé entre $e_1$~et~$e_2$, l'élément différentiel des deux intégrales qui représentent $\omega_1$~et~$\omega_2$ ne devient pas infini entre les deux limites. Il n'en est pas de même pour l'intégrale qui exprime~$\omega_3$; mais il est inutile de discuter cette intégrale pour savoir comment la calculer (ce qui d'ailleurs serait facile); car nous savons \textit{a~priori} que $\omega_3$~est égale à~$-(\omega_1 + \omega_2)$. \ctb %% -----File: 055.png---Folio 51------- \Chapter{III}{Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$} La théorie des fonctions elliptiques est facilitée par l'adjonction à la fonction~$\wp u$ de deux autres fonctions que Weierstrass a nommées $\zeta u$~et~$\sigma u$ et qui sont liées d'une façon très simple à~$\wp u$. Au reste $\zeta u$~et~$\sigma u$ ne sont pas des fonctions elliptiques, mais elles se rapprochent beaucoup de ces fonctions par leurs propriétés. \Paragraph{26.}{Définition de~$\zeta u$.} --- Si l'on intégrait terme à terme la série \[ \wp u = \frac{1}{u^2} + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right] \] sans ajouter de constante, on obtiendrait un développement dont la convergence serait incertaine, car son terme général $\dfrac{-1}{u - w} - \dfrac{u}{\DPtypo{w_2}{w^2}}$ est de l'ordre de grandeur de~$\dfrac{1}{w^2}$, et la série des modules de~$\dfrac{1}{w^2}$ est divergente. Mais il est facile de rendre ce développement convergent: il suffit d'ajouter à chacun de ses termes la constante~$-\dfrac{1}{w}$. Car le terme général \[ -\frac{1}{u - w} - \frac{u}{w^2} - \frac{1}{w} = -\frac{u^2}{w^2(u - w)} = \frac{u^2}{1 - \dfrac{u}{w}} · \frac{1}{w^3} \] est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$ (voir \Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~15). %[xref] %% -----File: 056.png---Folio 52------- La série ainsi obtenue est absolument et uniformément convergente en toute région du plan qui ne contient aucun des points \[ w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] C'est cette série changée de signe qu'on appelle~$\zeta u$. Ainsi \[ \zeta u = \frac{1}{u} + \sum\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right) \] et \[ \zeta'(u) = -\wp u. \] La fonction~$\zeta u$, ayant pour dérivée une fonction paire, \emph{est une fonction impaire}. Elle est homogène de degré~$-1$ par rapport aux trois lettres $u$,~$\omega_1$,~$\omega_2$. Elle reste invariable lorsqu'on change les périodes sans changer les sommets du réseau, c'est-à-dire dans toute transformation du premier degré. Elle a pour pôles les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces pôles sont simples et les résidus correspondants sont égaux à~$1$. \Paragraph{27.}{Développement de~$\zeta u$ suivant les puissances de~$u$.} --- Du développement~\Eqref{(17)} \[ \wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots \] on déduit en intégrant, changeant de signe, et remarquant que la différence $\zeta u - \dfrac{1}{u}$ s'annule pour $u = 0$, \[ \zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots\DPtypo{}{.} \] \Paragraph{28.}{Addition d'une période à l'argument de~$\zeta u$.} --- De la relation \[ \wp(u + 2\omega_1) =\wp(u), \] on tire, en intégrant et changeant le signe des deux membres, \[ \zeta(u + 2\omega_1) = \zeta(u) + 2\eta_1. \] %% -----File: 057.png---Folio 53------- Pour déterminer la constante~$\eta_1$, faisons $u = -\omega_1$. Observons que $\zeta(u)$~est une fonction impaire et que par suite $\zeta(-\omega_1) = -\zeta(\omega_1)$. Nous en concluons \[ \eta_1 = \zeta(\omega_1). \] Le même raisonnement et le même calcul s'appliqueront à~$\zeta(u + 2\omega_2)$. Nous aurons donc \begin{align*} \zeta(u + 2\omega_1) &= \zeta(u) + 2\eta_1, \\ \zeta(u + 2\omega_2) &= \zeta(u) + 2\eta_2, \end{align*} avec \[ \eta_1 = \zeta \omega_1,\qquad \eta_2 = \zeta \omega_2. \] On voit que la fonction~$\zeta(u)$ n'est pas doublement périodique, mais se reproduit augmentée d'une constante par l'addition d'une période (de~$\wp u$) à son argument. \Paragraph{29.}{Relation entre les quatre constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$.} --- Les quatre %[Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.5in]{057a} \end{wrapfigure} constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$ sont liées par une relation dont nous apercevrons la grande importance dans la théorie des fonctions~$\theta$ de Jacobi. On obtient cette relation en calculant l'intégrale $\int \zeta u\, du$ autour du parallélogramme des périodes~$O'ABC$. L'intégration suivant les deux côtés opposés $O'A$,~$BC$ donne \begin{multline*} \int_{O'A} \zeta u\, du + \int_{CB} \zeta u\, du = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u)\, du -\int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u + 2\omega_2)\, du \\ = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \bigl[\zeta(u) - \zeta(u + 2\omega_2)\bigr]\, du = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} -2\eta_2\, du = -4\eta_2\omega_1. \end{multline*} Les deux côtés $AC$,~$O'B$ donnent~$+4\omega_2\eta_1$. L'intégrale cherchée est donc \[ 4(\omega_2\eta_1 -\omega_1\eta_2). \] Mais d'autre part cette intégrale est égale au produit de $2\pi i$~par la somme des résidus de la fonction~$\zeta u$ relatifs aux %% -----File: 058.png---Folio 54------- pôles contenus dans ce parallélogramme, si l'on suppose que le sens du parcours~$O'ACB$ est le sens direct. Or, il n'y a qu'un pôle, de résidu~$+1$. On a donc \[ 2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. \] C'est la relation cherchée. L'hypothèse faite sur le sens du parcours implique, comme nous l'avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~4), que le rapport %[xref] $\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes ait sa partie imaginaire positive. On peut toujours supposer qu'il en est ainsi, car, dans le cas contraire, on prendrait pour périodes $2\omega_1$~et~$-2\omega_2$, ce qui ne change pas les sommets du réseau et par suite n'altère pas la fonction~$\zeta u$. \Paragraph{30.}{La fonction~$\sigma u$.} --- Intégrons la série \[ \zeta u = \frac{1}{u} + \sum \left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right), \] et, pour rendre convergente la série obtenue, ajoutons à chacun de ses termes la constante~$-\log w$. Le terme général aura pour expression \begin{multline*} \log(w - u) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} - \log w = \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} \\ = \left(-\frac{u}{w} - \frac{u^2}{2w^2} - \frac{u^3}{3w^3} - \dots\right) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} = -\frac{u^3}{3w^3} - \dots \end{multline*} Il est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$, et par conséquent la convergence de la série est assurée. La fonction qu'on obtient ainsi et qu'on peut écrire \begin{multline*} \log u + \sum \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + \sum \log e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} \\ %[** Needs attn] = \log \left[u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}\right] \end{multline*} %% -----File: 059.png---Folio 55------- n'est pas uniforme; mais uniforme est la fonction qui figure sous le signe~$\log$. C'est cette dernière qu'on appelle~$\sigma u$. On a donc \[ \sigma u = u \prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} %[** Attn] \] et \[ \frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u. \] \Paragraph{31.}{Propriétés de~$\sigma u$.\ --- Développement suivant les puissances de~$u$.} --- La fonction~$\sigma u$ est évidemment entière et ses zéros sont les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces zéros sont simples. Pour $u$~infiniment petit, la valeur principale de~$\sigma u$ est égale à~$u$. Considérée comme fonction des trois lettres $u$,~$2\omega_1$,~$2\omega_2$, $\sigma u$~est homogène de degré~$1$. Elle reste invariable pour toute transformation du premier degré. C'est une fonction impaire de~$u$. Car on a le droit, dans l'expression de~$\sigma u$, d'écrire $-w$~au lieu de~$w$, ce qui ne fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors on change $u$~en~$-u$, on voit que la fonction s'est reproduite, mais changée de signe. Enfin si l'on intègre le développement~\Eqref{(27)} \[ \zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots \] et qu'on remarque que, pour $u = 0$, $\log\sigma u - \log u$ s'annule, il vient \begin{align*} %[** TN: Re-aligned] \log \sigma u &= \log u - c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots \\ \sigma u &= u\centerdot e^{-c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots} \\ &= u(1 + d_1 u^4 + d_2u^6 + \dots). \end{align*} %% -----File: 060.png---Folio 56------- \Paragraph{32.}{Addition d'une période à l'argument de~$\sigma u$.} --- Intégrons l'équation \[ \zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1; \] on trouve \begin{gather*} \log \sigma(u + 2\omega_1) = \log \sigma u + 2\eta_1 u + \text{const.}, \\ \sigma(u + 2\omega_1) = Ce^{2\eta_1 u}\, \sigma u. \end{gather*} Pour déterminer la constante~$C$, faisons $u =-\omega_1$, et remarquons que, $\sigma u$~étant une fonction impaire, nous aurons $\sigma(-\omega_1) = -\sigma\omega_1$; il viendra \[ C = -e^{2\eta_1\omega_1}. \] Le même calcul se faisant pour la période $2\omega_2$, nous aurons \begin{align*} \sigma(u + 2\omega_1) &= -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ \sigma(u + 2\omega_2) &= -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. \end{align*} Ces formules montrent que $\sigma u$~n'est pas une fonction elliptique, ce que nous montrait d'ailleurs \textit{a~priori} le fait que $\sigma u$~est une fonction entière; $\sigma u$~est une \emph{fonction doublement périodique de troisième espèce}. M.~Hermite a appelé ainsi les fonctions analytiques uniformes qui, lorsqu'on ajoute une \emph{période} à leur argument, se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel dont l'exposant est une fonction linéaire de l'argument. Quand ce facteur se réduit à une constante, on a affaire à une \emph{fonction doublement périodique de deuxième espèce}. \Paragraph{33.}{Rappel des formules fondamentales relatives à $\wp u$, $\zeta u$, $\sigma u$.} --- Si l'on pose $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on a \begin{gather*} \wp u = \frac{1}{u^2} + \sum{\left[\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]}; \\ \zeta u = \frac{1}{u} + \sum{\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right)}; \\ \sigma u = u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}; \displaybreak[0]\\ %% -----File: 061.png---Folio 57------- \zeta' u = -\wp u; \qquad \frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u; \\ \wp(u + 2\omega_1) = \wp(u + 2\omega_2) = \wp u; \\ \zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1, \qquad \zeta(u + 2\omega_2) = \zeta u + 2\eta_2, \\ \sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \qquad \sigma(u + 2\omega_2) = -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. \end{gather*} Rappelons enfin les formules \[ \eta_1 = \zeta\omega_1, \qquad \eta_2 = \zeta\omega_2, \qquad 2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. \] \ctb %% -----File: 062.png---Folio 58------- \Chapter{IV}{Expression des fonctions elliptiques par les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\wp$} Toute fonction elliptique~$f(u)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ peut être exprimée d'une manière très simple soit par des fonctions~$\sigma$, soit par des fonctions~$\zeta$, soit par une fonction~$\wp$ ayant les mêmes périodes. \Paragraph{34.}{Expression par un quotient de fonctions~$\sigma$.} --- Il faut avoir déterminé les zéros $a_1, a_2, \dots, a_n$ et les pôles $b_1, b_2, \dots, b_n$ de~$f(u)$ situés dans un parallélogramme des périodes\footnotemark. \footnotetext{Ou, plus généralement, les zéros distincts et les pôles distincts, c'est-à-dire tels que deux d'entre eux aient une différence non égale à une période $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$.} On sait que la somme des zéros ne diffère de la somme des pôles que par la somme de multiples des deux périodes: \[ a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Si du parallélogramme considéré on se transporte dans celui dont un sommet diffère du sommet homologue de celui-là précisément de $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on y trouvera un pôle~$b'_n$, par exemple, homologue de~$b_n$ et tel que \[ b'_n = b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \] en sorte que la relation précédente prend la forme plus %% -----File: 063.png---Folio 59------- simple (où $b_n$~a été récrit pour~$b'_n$, par raison de symétrie) \[ a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n. \] Cela posé, la fonction \[ \frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)} \] a les mêmes zéros et les mêmes pôles que~$f(u)$. C'est d'ailleurs une fonction elliptique aux mêmes périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Car si l'on y change $u$~en~$u + 2\omega_1$, par exemple, elle se reproduit~\Eqref{(32)} multipliée par \[ \frac{(-1)^n e^{2\eta_1(u - a_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - a_n + \omega_1)}} {(-1)^n e^{2\eta_1(u - b_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - b_n + \omega_1)}} = \frac{e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (a_1 + \dots + a_n)]}} {e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (b_1 + \dots + b_n)]}} =1. \] On aura donc \[ f(u) = C\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)}. \] Pour déterminer le facteur constant~$C$, on donnera à~$u$ une valeur particulière pour laquelle on exprimera que les deux membres sont égaux (ou ont même valeur principale, s'ils sont nuls ou infinis). Si quelques zéros ou quelques pôles sont multiples, on fera dans cette formule $a_1 = a_2 = \dots$ ou $b_1 = b_2 = \dots$\DPtypo{}{.} \Paragraph{35.}{Expression par $\zeta$~et ses dérivées.} --- Ce procédé exige que l'on connaisse les pôles \emph{distincts} $a, b, \dots$ de~$f(u)$, leurs degrés respectifs de multiplicité $\alpha, \beta, \dots$ et le développement de la partie infinie de~$f(u)$ autour de chacun d'eux \[ \frac{A_\alpha}{(u - a)^\alpha} + \dots + \frac{A_1}{u - a}, \qquad \frac{B_\beta}{(u - b)^\beta} + \dots + \frac{B_1}{u - b}, \qquad\dots\DPtypo{}{.} \] Nous allons montrer qu'on aura %% -----File: 064.png---Folio 60------- \begin{multline*} f(u) = A_1\zeta(u - a) - A_2\zeta'(u - a) + \dots + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1 \centerdot 2 \dots (\alpha-1)}\, \zeta^{(\alpha-1)}(u - a) \\ + B_1\zeta(u - b) - B_2\zeta'(u - b) + \dots + \frac{(-1)^{\beta-1}A_\beta}{1 \centerdot 2 \dots (\beta-1)}\, \zeta^{(\beta-1)}(u - b) \\ + \dots + \text{const.} \end{multline*} Car, si l'on accroît~$u$ de la période~$2\omega_1$ par exemple, $\zeta u$~s'accroît de~$2\eta_1$; ses dérivées restent invariables; le second membre s'accroît donc de $2\eta_1(A_1 + B_1 + \dots)$, quantité qui est nulle, puisque la somme $A_1 + B_1 + \dots$ des résidus est égale à zéro (\Ord{1}{re}~partie, chap.~III,~9). %[xref] Par conséquent, ce second membre est une fonction elliptique. D'ailleurs, dans un parallélogramme des périodes, $\zeta(u-a)$~n'a qu'un seul pôle, $a + \text{période}$; et aux environs de ce pôle unique, les développements de~$\zeta(u-a)$ et de ses dérivées $\zeta'(u-a), \dots, \zeta^{(\alpha-1)}(u - a)$ ont pour partie infinie respectivement \[ \frac{1}{(u - a)}, \qquad \frac{-1}{(u-a)^2}, \qquad \dots, \qquad \frac{(-1)^{\alpha-1} \centerdot 1 \centerdot 2 \dots(\alpha-1)} {(u-a)^\alpha}. \] Il en résulte que le second membre a bien autour de chaque pôle même partie infinie que~$f(u)$. Il ne diffère donc de~$f(u)$ que par une constante, qu'on déterminera de telle sorte que la différence s'annule. \Paragraph{36.}{Application. Intégration des fonctions elliptiques.} --- Cette décomposition d'une fonction elliptique en une somme d'éléments simples permet d'intégrer cette fonction. Car nous aurons, en intégrant les deux membres de l'équation du numéro précédent, \begin{multline*} \int fu\, du = A_1d\log{\sigma(u-a)} - A_2 \zeta{(u - a)} + \dots \\ + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1\centerdot 2 \dots {(\alpha-1)}} \zeta^{(\alpha-2)}(u - a) + B_1d\log \sigma(u - b) - \dots + Cu + C'. \end{multline*} %% -----File: 065.png---Folio 61------- \Paragraph{37.}{Expression par $\wp u$~et~$\wp' u$.} --- \primo Supposons que $f(u)$~soit une fonction paire. Si elle admet un zéro~$a_1$, elle admettra un zéro~$-a_1$, (avec le même degré de multiplicité~$\alpha_1$). Soient donc $±a_1, \dots, ±a_n$ ceux de ses zéros distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ leurs degrés respectifs de multiplicité; de même soient \[ ±b_1, \dots, ±b_n \] ses pôles distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\beta_1, \dots, \beta_n$ leurs degrés de multiplicité. On aura \[ f(u) = C\, \frac{{(\wp u - \wp a_1)}^{\alpha_1} (\wp u - \wp a_2)^{\alpha_2} \dots} {{(\wp u - \wp b_1)}^{\beta_1} (\wp u - \wp b_2)^{\beta_2} \dots}, \] $C$~désignant une constante. En effet, les deux membres de cette équation sont deux fonctions elliptiques qui ont leurs zéros communs et leurs pôles communs, sauf peut-être ceux des zéros et ceux des pôles qui sont des périodes. Mais si une période est un zéro, toutes les périodes en sont, et si une période est un pôle, toutes en sont également. Or le quotient de $f(u)$~par le second membre est une fonction elliptique; si cette fonction ne se réduisait pas à une constante~$C$, elle admettrait les périodes à la fois pour zéros et pour pôles, ce qui est impossible. \secundo Supposons que $f(u)$~ne soit pas une fonction paire. On peut l'écrire identiquement \[ f(u) = \frac{f(u) + f(-u)}{2} + \frac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}\,\wp' u. \] Or $\dfrac{f(u) + f(-u)}{2}$ est évidemment une fonction paire; de même $\dfrac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}$ (car $f(u) - f(-u)$ est impaire et $\wp' u$~impaire également). On peut exprimer ces deux fonctions elliptiques paires rationnellement au moyen de~$\wp u$. On en conclut que \emph{$f(u)$~peut être exprimée rationnellement en fonction de $\wp u$~et~$\wp' u$}. %% -----File: 066.png---Folio 62------- \begin{Theorem}{38.} --- Deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes sont liées par une relation algébrique. \end{Theorem} Car si l'on exprime ces deux fonctions $f(u)$,~$\varphi(u)$ au moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ on obtient deux relations qui, jointes à celle qui existe entre $\wp u$~et~$\wp' u$ (\Ord{2}{e}~partie, chap.~I,~18), %[xref] permettront d'éliminer ces deux dernières quantités, et conduiront à une équation algébrique entre $f(u)$~et~$\varphi(u)$. %** Explicit skip? Il est facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport à~$f$ et à~$\varphi$. Soit $m$~l'ordre de~$f$. A chaque valeur particulière~$f_0$ de~$f$ correspondent, dans un parallélogramme des périodes, $m$~valeurs de~$u$, savoir $u_0, u_1, \dots, u_m$, et par conséquent, \emph{en général}, $m$~valeurs distinctes de~$\varphi$, savoir $\varphi(u_0), \dots, \varphi(u_m)$. De même si $\mu$~est l'ordre de~$\varphi$, à chaque valeur de~$\varphi$ correspondent $\mu$~valeurs de~$f$ (en général). L'équation sera donc au plus (et ce sera le cas général) du degré~$m$ par rapport à~$\varphi$ et du degré~$\mu$ par rapport à~$f$. Ces degrés peuvent d'ailleurs s'abaisser, par exemple quand $f$~et~$\varphi$ sont des fonctions paires de~$u$. Car si à la valeur~$f_0$ de~$f$ correspond la valeur~$u_1$ de~$u$, à cette même valeur~$f_0$ correspond aussi la valeur $-u_1 + \text{période}$. Mais à ces deux valeurs de~$u$ ne répond qu'une seule valeur de~$\varphi$. L'équation sera donc de degré~$\dfrac{m}{2}$ par rapport à~$\varphi$ et, pour la même raison, de degré~$\dfrac{\mu}{2}$ par rapport à~$f$. \Paragraph{39.}{Relation entre une fonction elliptique et sa transformée.} --- Soit $f(u,\omega_1,\omega_2)$ une fonction elliptique aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. A ces périodes on en substitue deux autres $2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux premières par les relations \begin{align*} 2\omega_1 &= a\centerdot 2\omega'_1 + b\centerdot 2\omega'_2, \\ 2\omega_2 &= c\centerdot 2\omega'_1 + d\centerdot 2\omega'_2. \end{align*} Les sommets du premier réseau font évidemment tous %% -----File: 067.png---Folio 63------- partie du second réseau (la réciproque n'est pas vraie, à moins que la transformation ne soit du premier degré). De là résulte que la fonction elliptique \emph{transformée} $f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Par conséquent, \emph{la fonction elliptique~$f(u)$ est liée à sa transformée par une équation algébrique}. Nous avons annoncé (\Ord{1}{re}~partie, chap.~II,~7) et nous prouverons %[xref] bientôt que la transformée de~$\wp u$ est une fonction rationnelle de~$\wp u$. C'est là une des supériorités de la fonction~$\wp u$. \begin{Theorem}{40.} --- Toute fonction elliptique~$f(u)$ est liée à sa dérivée par une équation algébrique. \end{Theorem} Car $f(u)$~et~$f'(u)$ sont deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes. Si $u_1$~est un pôle de degré~$\alpha_1$ de~$f(u)$, ce sera un pôle de degré~$\alpha + 1$ de~$f'(u)$. L'ordre~$\mu$ de~$f'(u)$ surpassera donc l'ordre~$m$ de~$f(u)$ d'autant d'unités qu'il y a de pôles distincts de~$f(u)$. Supposons qu'il y en ait~$k$. L'équation entre $f(u)$~et~$f'(u)$ sera du degré~$m$ par rapport à~$f'(u)$ et du degré~$m + k$ par rapport à~$f(u)$. Ce théorème est d'une importance capitale. Il montre que certaines équations du premier ordre de la forme \[ F \left(z, \frac{dz}{du}\right) = 0 \] où ne figure pas explicitement la variable indépendante~$u$, algébriques par rapport à~$z$ et à~$\dfrac{dz}{du}$, et de degré~$m$ par rapport à cette dérivée, peuvent être intégrées au moyen d'une fonction elliptique $z = f(u)$ d'ordre~$m$. Reconnaître directement sur l'équation s'il en est ainsi et intégrer dans ce cas est un problème qui a été résolu complètement par Briot et Bouquet. \ctb %% -----File: 068.png---Folio 64------- \Chapter[Addition des arguments pour la fonction $\wp u$.\ --- Multiplication de l'argument]% {V}{Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. Multiplication de l'argument} \Paragraph{41.}{Addition des arguments.} --- Notre but est de montrer que \emph{$\wp(u + v)$ s'exprime rationnellement en fonction de $\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$}. \primo Cherchons l'expression de $\wp u - \wp v$. Considérée comme fonction de la variable~$u$, cette différence admet, aux périodes près, un seul pôle (double) $u = 0$. Elle est donc du second ordre; par suite elle n'admet \emph{que deux zéros} distincts qui sont évidemment $u = ±v$. Elle sera donc \Eqref{(34)} de la forme \[ \wp u - \wp v = C\, \frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u}. \] Pour déterminer la constante~$C$, il suffit d'identifier les valeurs principales pour~$u$ infiniment petit, en se rappelant que la valeur principale de~$\wp u$ est~$\dfrac{1}{u^2}$ \Eqref{(17)}~et que celle de $\sigma u$~est $u$~\Eqref{(31)}. On trouve ainsi \[ \frac{1}{u^2} = -\frac{C\, \sigma^2 v}{u^2},\qquad C = -\frac{1}{\sigma^2 v}; \] d'où l'expression cherchée \[ \wp u - \wp v = - \frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}. \] \secundo Prenons la dérivée logarithmique des deux membres %% -----File: 069.png---Folio 65------- par rapport à~$u$, il viendra \[ \frac{\wp' u}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) + \zeta(u - v) - 2\zeta u. \] Cette formule, quand on y échange $u$~et~$v$, devient ($\zeta$~étant impaire) \[ \frac{-\wp' v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) - \zeta(u - v) - 2\zeta v. \] Ajoutons celle-ci à la première et divisons par~$2$: \[ \frac{1}{2}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) - \zeta u - \zeta v. \] Différentions encore par rapport à~$u$: \[ \wp(u + v) - \wp u = -\frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, \frac{\wp\DPtypo{}{'} u - \wp' v}{\wp u - \wp v}. \] Si, après avoir effectué la différentiation du second membre, nous remplaçons~$\wp''u$ par sa valeur~\Eqref{(19)} $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$, nous obtenons $\wp(u + v)$ en fonction rationnelle de $\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$, comme nous l'avions annoncé. Mais la formule ainsi obtenue ne serait pas symétrique en $u$~et~$v$. \tertio Pour arriver à une formule symétrique nous dirigerons le calcul de la manière que voici. Effectuons \[ \frac{d}{du}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} = \frac{\wp''u(\wp u - \wp v) - \wp'u(\wp' u - \wp' v)}{(\wp u - \wp v)^2}. \] Si nous remplaçons $\wp'' u$ par sa valeur $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$ et $\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^2 u - g_2 \wp u - g_3$, le numérateur du second membre devient \begin{multline*} (\wp u - \wp v) \left(6\wp^2 u - \frac{1}{2}\, g_2 \right) - (4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3) + \wp' v \, \wp'u \\ = 2\wp^3 u + \frac{1}{2}\, g_2 \wp u + g_3 - 6\wp^2 u\, \wp v + \frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \wp' v\, \wp' u. \end{multline*} De là résulte %% -----File: 070.png---Folio 66------- \begin{align*} \wp(u + v) &= \wp u - \frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} \\ &= \frac{ \left\{ \begin{gathered} 2\wp^2 u\, \wp v + 2\wp u\, \wp^2 v - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp u + \frac{1}{2} g_3 \right) \\ - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \frac{1}{2} g_3 \right) - \wp' v\, \wp' u \end{gathered} \right.}{2(\wp u - \wp v)^2}. \end{align*} Si au numérateur du second membre on remplace $g_2 \wp + g_3$ par sa valeur $-\wp'^2 + 4\wp^3$, ce numérateur devient \begin{align*} 2 \wp^2 u\, \wp v &+ 2 \wp u\, \wp^2 v + \frac{1}{2} (\wp'^2 u - 4\wp^3) + \frac{1}{2} (\wp'^2 v - 4 \wp^3 v) - \wp' v\, \wp' u \\ &= 2\wp^2 u(\wp v - \wp u) + 2\wp^2 v(\wp u - \wp v) + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2 \\ &= -2(\wp u + \wp v) (\wp u - \wp v)^2 + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2. \end{align*} Finalement on obtient \[ \wp(u + v) = -\wp u - \wp v + \frac{1}{4}\, \left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2. \] Telle est l'importante formule de \emph{l'addition des arguments} pour la fonction~$\wp u$. \Paragraph{42.}{Multiplication de l'argument par~$2$.} --- Si dans cette formule nous faisons tendre~$v$ vers~$u$, nous aurons \[ \wp 2u = -2\wp u + \frac{1}{4}\, \frac{\wp''^2 u}{\wp'^2 u} = \frac{1}{4}\, \frac{\left(6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2 \right)^2} {4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3}. \] Une différentiation fournirait~$\wp' 2u$. Faisant ensuite dans la formule d'addition \[ v = 2u, 3u, \dots, \] on obtiendrait des formules pour la multiplication de l'argument de~$\wp u$ par un entier quelconque. Nous y parviendrons, au chapitre suivant, d'une manière plus élégante. \ctb %% -----File: 071.png---Folio 67------- \Chapter[Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}).\ --- Division de l'argument]% {VI}{Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}). Division de l'argument} \Paragraph{43.}{} Reprenons la formule~\Eqref{(41)} \[ \wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, \] et remplaçons-y $u$~par~$nu$ et $v$~par~$u$; elle devient \[ \wp nu - \wp u = -\frac{\sigma(n + 1)u\, \sigma(n - 1)u}{\sigma^2 nu\, \sigma^2 u} = -\frac{\dfrac{\sigma(n + 1)u}{[\sigma u]^{(n+1)^2}}\, \dfrac{\sigma(n - 1)u}{[\sigma u]^{(n-1)^2}}} {\left[\dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} \right]^2}; \] expression qui, si l'on y pose \[ \psi_n u = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, \] devient à son tour \[ \wp nu - \wp u = - \frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi^2_n}. \] C'est en exprimant les fonctions~$\psi$ au moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ suivant la règle indiquée précédemment (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV,~17) %[xref] que nous obtiendrons la représentation cherchée de~$\wp u$. \Paragraph{44.}{Étude de la fonction~$\psi_n u$.} --- Pour prouver que $\psi_n u$~est une fonction elliptique, cherchons l'effet sur~$\sigma\, nu$ du changement de~$u$ en~$u + 2\omega_1$ et~$u + 2\omega_2$. Nous aurons par %% -----File: 072.png---Folio 68------- exemple~\Eqref{(39)} \[ \begin{array}{r@{}r@{}l} & \sigma(nu + 2\omega_1) &{}= -e^{2\eta_1(nu + \omega_1)}\, \sigma\, nu, \\ \sigma(nu + 4\omega_1) &{}= \sigma(nu + 2\omega_1 + 2\omega_1) &{}= -e^{2\eta_1(nu + 2\omega_1 + \omega_1)}\, \sigma (nu + 2\omega_1) \\ & &{}=e^{2\eta_1\bigl[2nu + \omega_1(1+3)\bigr]}\, \sigma\, nu. \\ \hdotsfor[5]{3} \\ \sigma(nu + 2n\omega_1) &\multicolumn{2}{l}{% {}= (-1)^n e^{2\eta_1\bigl[n\centerdot nu + \omega_1(1 + 3 + 5 + \dots + 2n - 1)\bigr]}} \\ & &{}=(-1)^n\, e^{2\eta_1(n^2u + n^2\omega_1)}\, \sigma\, nu. \end{array} \] Cela posé, on a \begin{align*} \psi_n(u + 2\omega_1) = \frac{\sigma(nu + 2n\omega_1)}{\bigl[\sigma(u + \omega_1)\bigr]^{n^2}} &= \frac{(-1)^n\, e^{2\eta_1 n^2(u + \omega_1)}\, \sigma\, nu} {[-e^{2\eta_1(u + \omega_1)}]^{n^2}\, (\sigma u)^{n^2}} \\ &= \frac{(-1)^n}{(-1)^{n^2}}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} = \psi_nu; \end{align*} $\psi_n u$~est donc une fonction elliptique aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Passons à la représentation de~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp u$. Comme $\sigma u$~est une fonction entière, $\psi_n u$~n'a d'autres pôles que les zéros de~$\sigma u$, qui sont tous des périodes. Ensuite, les zéros de~$\psi_n u$ sont ceux de~$\sigma\, nu$; ils sont donc donnés par la formule \begin{align*} nu &= 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \\ \intertext{d'où} u &= \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}. \end{align*} Ces zéros sont simples. Cherchons ceux d'entre eux qui ne sont pas des périodes et qui sont distincts. On les trouvera tous en attribuant à $m_1, m_2$ les valeurs $0, 1, \dots, n-1$ (sauf la combinaison $m_1 = m_2 = 0$). Cela fait en tout $n^2 - 1$~zéros. Mais ces $n^2 - 1$ zéros ne sont pas encore tous distincts. Ici deux cas sont à distinguer. \primo \emph{$n$~est impair.} --- A chaque zéro $\dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ en correspond un autre \[ \frac{2(n - m_1)\omega_1 + 2(n - m_2)\omega_2}{n} \] qui n'en est pas distinct, puisque la somme de ces deux %% -----File: 073.png---Folio 69------- zéros est $2\omega_1 + 2\omega_2$. Il n'y a donc que $\dfrac{n^2 - 1}{2}$ zéros distincts. Quant aux pôles, nous l'avons dit, tous sont des périodes. Aucun dénominateur ne figurera donc dans la représentation de la fonction paire~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp(u)$, et l'on aura, en appliquant la formule du \no37, %[xref] \[ \psi_n u = n\prod\left[ \wp u - \wp \left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right) \right] = P_1, \] $P_1$~étant un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-1}{2}$ en~$\wp u$. Le facteur constant est bien égal à~$n$; car les valeurs principales des deux membres pour~$u$ infiniment petit sont toutes deux égales à~$\dfrac{n}{u^{n^2 - 1}}$. \secundo \emph{$n$~est pair.} --- On doit mettre à part les trois systèmes de valeurs \[ \left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = 0\right), \ \left(m_1 = 0, m_2 = \frac{n}{2}\right), \ \left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = \frac{n}{2}\right), \] pour lesquelles les zéros de~$\psi_n u$ sont $\omega_1, \omega_2, \omega_1 + \omega_2$. Mais ces trois zéros sont précisément des zéros de~$\wp' u$. Il reste $n^2 - 4$~zéros, qui peuvent être rapprochés deux à deux comme précédemment et dont $\dfrac{n^2 - 4}{2}$ seulement sont distincts. La fonction elliptique paire~$\dfrac{\psi_n u}{\wp' u}$ pourra s'exprimer rationnellement au moyen de~$\wp u$; et l'on aura \[ \psi_n u = -\frac{n}{2} \wp' u \prod\left[\wp u - \wp\left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right)\right] = P_2 \wp' u; \] le signe~$\displaystyle\prod$ portant sur $\dfrac{n^2-4}{2}$~facteurs, et $P_2$~désignant un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-4}{2}$ en~$\wp u$. \Paragraph{45.}{Multiplication de l'argument de~$\wp u$ par~$n$.} --- Tout ceci étant acquis, la formule ci-dessus~\Eqref{(43)} \[ \wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2} \] %% -----File: 074.png---Folio 70------- résout le problème de la multiplication de l'argument de~$\wp u$ par~$n$, c'est-à-dire permet de former l'expression de \emph{$\wp nu$~en fonction rationnelle de~$\wp u$}: \primo \emph{$n$~étant pair}, et par conséquent $n + 1$~et~$n - 1$ impairs, on a \[ \psi_n = P_1, \qquad \psi_{n+1} = Q_1 \wp' u, \qquad \psi_{n-1} = R_1 \wp' u, \] $P_1, Q_1, R_1$ étant des polynômes en~$\wp u$. On voit donc que \[ \wp nu = \wp u - \wp'^2 u\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} = \wp u - (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} \] s'exprime rationnellement en fonction de~$\wp u$. \secundo \emph{$n$~étant impair}, et par conséquent $n+1$~et~$n-1$ pairs, on a \begin{gather*} \psi_n = P_2 \wp' u, \qquad \psi_{n+1} = Q_2, \qquad \psi_{\DPtypo{n-2}{n-1}} = R_2, \\ \wp nu = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2}\, \wp'^2 u} = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2} (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)}; \end{gather*} $\wp nu$ est toujours une fonction rationnelle de~$\wp u$. \Paragraph{46.}{Calcul des polynômes $P_1, P_2$.} --- Il est facile de calculer en fonction des deux invariants $g_2, g_3$ les coefficients des deux polynômes $P_1, P_2$ dont le premier \[ \left(\text{de degré } \frac{n^2 - 1}{2} \text{ en } \wp u \right) \] représente $\psi_n u = \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand $n$~est pair, et le second $\!\left(\!\!\text{de degré } \dfrac{n^2 - 4}{2}\!\right)$ représente $\dfrac{\psi_n u}{\wp' u} = \dfrac{1}{\wp' u}\, \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand $n$~est impair: \begin{align*} %[** TN: Aligned] P_1 &= \alpha \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}} + \alpha_1 \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}-1} + \dots = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, \\ P_2 &= \beta \wp^{\frac{n^2 - 4}{2}} + \beta_1 \wp^{\frac{n^2 - 4}{2} - 1} + \dots = \frac{1}{\wp' u}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}. \end{align*} On obtient $\alpha, \alpha_1, \dots$, $\beta, \beta_1, \dots$ par la méthode des coefficients indéterminés, en remplaçant dans les deux %% -----File: 075.png---Folio 71------- équations précédentes $\wp u$,~$\wp' u$, $\sigma u$,~$\sigma\, nu$ par leurs développements \begin{align*} \wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, & \wp' u &= -\frac{2}{u^3} + 2c_1 u + 4c_2 u^3 + \dots; \\ \sigma u &= u(1 + d_1 u^4 + \dots) & \sigma\, nu &= nu(1 + d_1 n^4u^4 + \dots). \end{align*} On trouve, en identifiant les puissances semblables de $u$, \[ \alpha = n, \qquad \alpha_1 = 0,\dots \qquad \beta = -\frac{n}{2}, \qquad \beta_1 = 0, \ldots \] \Paragraph{47.}{Division de l'argument de $\wp u$.} --- Supposons $\wp nu$~donné, et proposons-nous de calculer~$\wp u$. Nous aurons à résoudre par rapport à cette dernière quantité l'équation \[ \wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2}, \] dont le second membre est une fonction rationnelle de~$\wp u$ que nous venons d'apprendre à former. Il serait facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport à l'inconnue~$\wp u$, en comptant les degrés des polynômes $P_1, Q_1, R_1$, $P_2, Q_2, R_2$ du \no45. Mais nous pouvons le faire %[xref] \textit{a~priori} de la manière suivante. A la valeur donnée de~$\wp nu$ correspondent une infinité de valeurs de~$u$ fournies par la formule \[ ±u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \] et par suite les valeurs de~$\wp u$ comprises dans l'expression \[ \wp\left(u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}\right), \] où les entiers $m_1, m_2$ peuvent être supposés positifs et plus petits que~$n$, et où $u_0$~est pris seulement avec le signe~$+$. Car si $m_1$~et~$m_2$ ne remplissent pas ces conditions, en ajoutant à l'argument de~$\wp$ une période convenable, on ramènera cet argument à un autre de même forme $u_0 + \dfrac{2m'_1\omega_1 + 2m'_2\omega_2}{n}$ où les entiers $m'_1, m'_2$ seront positifs %% -----File: 076.png---Folio 72------- et inférieurs à~$n$; et si $u_0$~est pris avec le signe~$-$, l'argument $-u_0 + \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ peut être, sans que la valeur de~$\wp$ soit altérée, remplacé par $u_0 - \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$, où $u_0$~est affecté du signe~$+$. Le nombre des valeurs distinctes de~$\wp u$ est donc celui des systèmes des entiers $m_1, m_2$ qui prennent la suite des valeurs $0, 1, 2, \dots, n$. Ce nombre est~$n^2$. Tel est effectivement le degré de l'équation qui donne~$\wp u$ en fonction de~$\wp nu$. \ctb %% -----File: 077.png---Folio 73------- \Chapter{VII}{Division des périodes de $\wp u$} \Paragraph{48.}{} Le problème consiste à évaluer $\wp\left(u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right)$ en fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous allons montrer que la première de ces deux fonctions, que nous appellerons pour abréger~$\wpbar u$, s'exprime rationnellement au moyen de la seconde, comme nous l'avons annoncé dans la première partie (ch.~II,~7). %[xref] Quand $n$~est un nombre composé, la question peut être simplifiée. Supposons que $n$ soit le produit de deux autres entiers, \[ n = n' × n''. \] Nous pouvons d'abord évaluer \[ \wp \left( u, \frac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right) = \wp\left( u, \frac{\ \dfrac{\omega_1}{n'}\ }{n''}, \omega_2 \right) \] en fonction de $\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$, puis $\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$ en fonction de $\wp (u, \omega_1, \omega_2)$. Comme tout nombre pair est le produit d'une puissance de~$2$ par un nombre impair, nous sommes ramenés à étudier ces deux cas: \primo division d'une période par~$2$; \secundo division d'une période par un nombre impair. \Paragraph{49.}{Division d'une période par~$2$.} --- Nous allons exprimer %% -----File: 078.png---Folio 74------- $\wpbar u = \wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{2}, \omega_2 \right)$ au moyen de la fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ et de ses dérivées (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 35). %[xref] La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Elle admet deux pôles doubles distincts $0$~et~$\omega_1$. Aux environs de ces pôles, les parties infinies de son développement sont respectivement $\dfrac{1}{u^2}$,~$\dfrac{1}{(u - \omega_1)^2}$. On aura donc~\Eqref{(35)} \[ \wpbar u = -\zeta' u - \zeta'(u - \omega_1) + C = \wp u + \wp(u - \omega_1) + C. \] Pour déterminer la constante~$C$, observons qu'aux environs de $u = 0$, le développement de~$\wpbar u$, comme celui de~$\wp u$, est privé de terme constant; donc \begin{gather*} 0 = \wp(-\omega_1) + C, \\ C = -\wp(-\omega_1) = -\wp(\omega_1) = -e_1. \end{gather*} D'ailleurs, d'après la formule d'addition (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41) %[xref] \[ \wp(u - \omega_1) = -\wp u - \wp(-\omega_1) + \frac{1}{4} \left[\frac{\wp' u - \wp'(-\omega_1)}{\wp u - \wp(-\omega_1)} \right]^2 \] ou bien, si l'on observe que \begin{gather*} \wp(-\omega_1) = \wp(\omega_1) = e_1, \\ \wp'(-\omega_1) = \wp'(-\omega_1 + 2\omega_1) = \wp'\DPtypo{\omega(_1)}{(\omega_1)} = 0, \end{gather*} et qu'on remplace $\wp'^2u$ par sa valeur \[ 4(\wp u - e_1) (\wp u - e_2) (\wp u - e_3), \] il vient \[ \wp(u - \omega_1) = -\wp u - e_1 + \frac{(\wp u - e_2) (\wp u - e_3)}{\wp u - e_1}. \] Nous avons à calculer $\wp(u - \omega_1) + C$, c'est-à-dire $\wp(u - \omega_1) - e_1$. En effectuant le calcul, on trouve \[ \wp(u - \omega_1) - e_1 = \frac{-(e_1 + e_2 + e_3) \wp u + 2e_1^2 + e_2 e_3}{\wp u - e_1}. \] Finalement, si l'on tient compte de la relation \[ e_1 + e_2 + e_3 = 0, \] d'où résulte l'identité %% -----File: 079.png---Folio 75------- \[ 2e_1^2 + e_2 e_3 = (e_2 - e_1) (e_3 - e_1), \] on trouve \[ \wpbar u = \wp u + \frac{(e_2 - e_1) (e_3 - e_1)}{\wp u - e_1}. \] \Paragraph{50.}{Division d'une période par un nombre impair.} --- Soit $n = 2m + 1$. Nous voulons exprimer $\wpbar u = \wp( u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2)$ en fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous nous servirons toujours de la représentation d'une fonction elliptique par $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ et ses dérivées par rapport à~$u$. La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ et les pôles distincts $0, ±\dfrac{2\omega_1}{n}, \dots, ±\dfrac{2m\omega_1}{n}$. Ces pôles sont doubles, sans résidu; le développement de la partie infinie de~$\wpbar u$ autour de l'un d'eux $\dfrac{2k\omega_1}{n}$ se réduit à $\dfrac{1}{\left( u - \dfrac{2k\omega_1}{n} \right)^2}$. Nous aurons donc~\Eqref{(35)} \begin{align*} \wpbar u &= - \zeta'u - \sum_{k=-m}^{k=+m} \zeta' \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, \\ &= \wp u + \sum_{k=-m}^{k=+m} \wp \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, \end{align*} (en excluant la valeur $k = 0$). Pour déterminer la constante~$C$, nous faisons tendre $u$~vers zéro et nous remarquons que les développements de~$\wpbar u$ et de~$\wp u$ ont l'un et l'autre pour partie principale~$\dfrac{1}{u^2}$ sans terme constant, ce qui donne \[ 0 = \sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n} + C, \qquad C = -\sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n}. \] %% -----File: 080.png---Folio 76------- D'autre part, nous avons, en appliquant la formule d'addition: \[ \wp \left( u + \frac{2k\omega_1}{n} \right) = -\wp u - \wp \frac{2k\omega_1}{n} + \frac{1}{4} \left( \frac{\DPtypo{\wp u'}{\wp'u} - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}} {\wp u - \wp \dfrac{2k\omega_1}{n}} \right)^2. \] Substituons dans l'expression de~$\wpbar u$; effectuons le carré de $\wp' u - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}$ et remarquons que les doubles produits donnent des termes impairs qui doivent se détruire puisque $\wpbar u$~est une fonction paire; nous obtenons \[ \wpbar u = \wp u + \sum_{-m}^{+m} \left[ - \wp u - 2\wp\frac{2k\omega_1}{n} + \frac{1}{4}\, \frac{\wp'^2 u + \wp'^2\, \dfrac{2k\omega_1}{n}} {\left(\wp u - \wp\, \dfrac{2k\omega_1}{n}\right)^2} \right]. \] En remplaçant $\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3$, on voit que $\wpbar u$~s'exprime bien \emph{rationnellement en fonction de~$\wp u$}. En résolvant le problème de la division des périodes de la fonction~$\wp u$, nous nous trouvons, comme nous l'avons expliqué (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II, 7), avoir résolu complètement %[xref] le problème de la transformation de~$\wp u$. \ctb %% -----File: 081.png---Folio 77------- \Part{Troisième Partie}{Les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$} %% -----File: 082.png---Folio 78------- % [Blank Page] %% -----File: 083.png---Folio 79------- \Chapter{I}{Les fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$} Avant que Weierstrass eût fait prévaloir l'usage de la fonction~$\wp u$, Abel et Jacobi avaient introduit dans la science trois fonctions elliptiques très simples que plus tard on appela $\sn u$,~$\cn u$,~$\dn u$ et dont il importe de ne pas abandonner l'étude parce que, malgré les incontestables avantages de la fonction~$\wp u$, elles se présentent dans mainte application d'une manière plus naturelle que cette dernière. Seulement, au lieu de construire \textit{a~priori} ces anciennes fonctions elliptiques, nous les ferons dériver de~$\wp u$. Nous les rattacherons très simplement à celles-ci par l'intermédiaire de trois nouvelles fonctions elliptiques $\sigma_{01} u$,~$\sigma_{02} u$,~$\sigma_{03} u$. \Paragraph{51.}{La fonction~$\sigma_{01} u$.} --- L'introduction de cette fonction $\sigma_{01} u$ repose sur la remarquable propriété du radical $\sqrt{\wp u - e_1}$ d'être \emph{une fonction uniforme de~$u$}. Reprenons en effet la formule (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41) %[xref] \[ \wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, \] et faisons-y $v = \omega_1$. Comme $\wp\omega_1 = e_1$ par définition, il viendra \[ \wp u - e_1 = -\frac{\sigma(u + \omega_1) \sigma(u - \omega_1)} {\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}. \] %% -----File: 084.png---Folio 80------- En raisonnant comme \Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32, on voit que %[xref] \[ \sigma(u - \omega_1) = \sigma(u + \omega_1 - 2\omega_1) = -e^{-2\eta_1(u + \omega_1 - \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); \] donc \begin{align*} \wp u - e_1 &= e^{-2\eta_1 u}\, \frac{\sigma^2(u + \omega_1)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}, \\ \sqrt{\wp u - e_1} &= e^{-\eta_1 u}\, \frac{\sigma(u + \omega_1)}{\sigma u\, \sigma \omega_1}. \end{align*} Ainsi $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme de~$u$. Ce radical a deux déterminations. Celle que fournit l'équation précédente est celle qui, pour $u$~infiniment petit, a pour valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$, puisque la valeur principale de~$\sigma u$ est~$+u$. L'inverse de $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme que nous désignons par~$\sigma_{01} u$. Ainsi \[ \sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}} = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. \] Nous allons étudier cette fonction~$\sigma_{01} u$, importante parce que la fonction~$\sn u$ en est, comme nous le verrons, un cas particulier. \Paragraph{52.}{Propriétés de~$\sigma_{01} u$.} --- Nous allons montrer que \emph{$\sigma_{01} u$~est une fonction elliptique}. \primo \textit{$\sigma_{01} u$~est une fonction impaire.} --- Car si l'on change~$u$ en~$-u$, $\wp u - e_1$~garde sa valeur. On aura donc \[ \sigma_{01}(-u) = \frac{1}{±\sqrt{\wp u - e_1}}. \] Seulement, comme la valeur principale du second membre est~$+\dfrac{1}{u}$ quand on prend le radical avec le signe~$+$, c'est le signe~$-$ qu'il faut prendre, afin que cette valeur principale soit~$-\dfrac{1}{u}$ [inverse de celle de~$\sigma_{01}(-u)$]. De là résulte \[ \sigma_{01}(-u) = -\sigma_{01} u. \] %% -----File: 085.png---Folio 81------- \secundo \textit{$\sigma_{01} u$~admet pour période~$4\omega_2$.} --- En effet, changeons~$u$ en~$u + 2\omega_2$; $\wp u - e_1$ conserve sa valeur. On ne peut donc avoir que \[ \sigma_{01}(u + 2\omega_2) = ±\sigma_{01} u. \] Pour décider du signe qu'il faut prendre, donnons à~$u$ la valeur particulière~$-\omega_2$, nous aurons \[ \sigma_{01} \omega_2 = ±\sigma_{01}(-\omega_2). \] Mais, $\sigma_{01}u$~étant une fonction impaire, c'est le signe~$-$ qui convient. Donc \[ \sigma_{01}(u + 2\omega_2) = -\sigma_{01} u. \] Augmentons encore l'argument de~$2\omega_2$; il viendra \[ \sigma_{01}(u + 4\omega_2) = -\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = \sigma_{01} u. \] Donc $4\omega_2$~est une période de~$\sigma_{01} u$. On prouverait de même que $4\omega_3$~en est une aussi. \tertio \textit{$\sigma_{01} u$~admet la période~$2\omega_1$.} --- Le raisonnement qui précède est inapplicable dans ce cas. Car l'expression $\sigma_{01} \omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$ n'a plus de sens quand on y remplace~$u$ par~$-\omega_1$, puisque $\wp(-\omega_1) = \wp\omega_1 = e_1$. Nous recourrons à l'expression ci-dessus de~$\sigma_{01} u$ par la fonction~$\sigma$. En remplaçant dans cette expression~$u$ par~$u + 2\omega_1$, nous avons \[ \sigma_{01}(u + 2\omega_1) = e^{\eta_1(u + 2\omega_1)}\, \frac{ \sigma(u + 2\omega_1)\, \sigma\omega_1 } { \sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) }. \] Mais (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] \begin{gather*} \sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ \sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1 + \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); \end{gather*} donc \[ \sigma_{01}(u + 2\omega_1) = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)} = \sigma_{01} u. \] Ainsi $2\omega_1$~est une période de~$\sigma_{01} u$. Cette fonction étant uniforme, doublement périodique, et n'ayant évidemment, d'après sa composition, d'autres %% -----File: 086.png---Folio 82------- singularités que des pôles, est une fonction elliptique, \cqfd \Paragraph{53.}{Pôles et zéros de~$\sigma_{01}u$.} --- Les pôles de~$\sigma_{01}u$ sont les racines de \[ \wp u - e_1 = \wp u - \wp\omega_1 = 0. \] Ils sont donc donnés par la formule \[ u = \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Ces pôles sont simples. Les zéros de~$\sigma_{01}u$ sont les pôles de~$\wp u$, et comme ces pôles sont doubles, ces zéros sont simples à cause du radical qui porte sur~$\wp u - e_1$. Tous ces zéros sont compris dans la formule \[ u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] \Paragraph{54.}{Équation algébrique entre $\sigma_{01}u$ et sa dérivée.} --- Pour obtenir cette équation, il suffit de remplacer~$\wp u$ par sa valeur $e_1 + \dfrac{1}{\sigma^2_{01}u}$ dans la relation \[ \wp'^2u = 4(\wp u - e_1)(\wp u - e_2)(\wp u - e_3). \] On a \[ \wp u = e_1 + \frac{1}{\sigma^2_{01}u}, \qquad \wp' u = -2\, \frac{\sigma'_{01}u}{\sigma^3_{01}u}. \] La substitution donne \[ 4\, \frac{\sigma'^2_{01}u}{\sigma^6_{01}u} = \frac{4}{\sigma^2_{01}u} \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_2 \right) \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_3 \right). \] Posons pour simplifier \[ e_3 - e_1 = M^2, \qquad e_2 - e_1 = M^2 k^2. \] L'équation entre $\sigma_{01}u$~et sa dérivée deviendra, après suppression du facteur~$\dfrac{4}{\sigma^6_{01}u}$, \[ \sigma'^2_{01}u = (1 - M^2\, \sigma^2_{01}u)(1 - M^2 k^2\, \sigma^2_{01}u). \] \Paragraph{55.}{Les fonctions $\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$.} --- Les fonctions elliptiques $\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$ sont définies par des formules analogues à celles %% -----File: 087.png---Folio 83------- qui servent de définition à~$\sigma_{01} u$: \begin{align*} \sigma_{02} &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}} = e^{\eta_\DPtypo{1}{2} u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_2}{\sigma(u + \omega_2)}, \\ \sigma_{03} &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. \end{align*} Insistons un peu sur la dernière expression, car nous n'avons encore rien dit de la quantité~$\eta_3$ qui y figure. Nous avons introduit les deux quantités $\eta_1 = \zeta\omega_1$, $\eta_2 = \zeta\omega_2$ en étudiant la fonction~$\zeta u$ construite avec les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29). On obtient la même %[xref] fonction~$\zeta u$ en partant des deux périodes $2\omega_1, 2\omega_3$, qui conservent les sommets du réseau construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$. Cette fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_3)$ introduit à son tour la quantité \[ \eta_3 = \zeta\omega_3. \] Nous avons vu que si, prenant la direction~$2\omega_1$ pour faire le tour du parallélogramme construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$, on se trouve marcher dans le sens direct, on a entre $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$ la relation (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29) %[xref] \[ 2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. \] Or, l'égalité $\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$ se traduit géométriquement par ce fait % [Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[1.75in]{087a} \end{wrapfigure} que la période~$2\omega_3$ est égale et directement opposée à la diagonale du parallélogramme construit sur~$2\omega_1$,~$2\omega_2$. Il s'ensuit que les deux parallélogrammes construits respectivement sur $2\omega_2$,~$2\omega_3$ et $2\omega_3$,~$2\omega_1$ seront contournés dans le sens direct, si l'on part du point de concours~$O'$ des trois périodes, pour le premier dans la direction~$2\omega_2$, pour le second dans la direction~$2\omega_3$. Nous n'avons donc, dans la relation ci-dessus, qu'à faire sur les indices une permutation circulaire, pour obtenir les deux relations corrélatives %% -----File: 088.png---Folio 84------- \[ 2(\eta_2\omega_3 - \eta_3\omega_2) = 2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. \] Il est facile de voir que ces trois relations, jointes à $\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$, entraînent l'égalité \[ \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. \] \Paragraph{56.}{Tableau des propriétés des trois fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$.} --- A chacune des trois racines $e_1, e_2, e_3$ correspond une fonction elliptique \[ \sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \quad \sigma_{02} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}}, \quad \sigma_{03} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} \] ou bien encore \[ \sigma_{01} u = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)},\ \sigma_{02} u = e^{\eta_2 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_2}{\sigma(u + \omega_2)},\ \sigma_{03} u = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. \] Souvenons-nous des trois relations \[ \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0, \quad e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. \] Voici le tableau des périodes, des pôles et des zéros de ces trois fonctions \[ \begin{array}{*{4}{c}} \text{Fonction} & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \text{Zéros} \\ \sigma_{01} u & 2\omega_1, 4\omega_2, 4\omega_3 & \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 \\ \sigma_{02} u & 2\omega_2, 4\omega_3, 4\omega_1 & \omega_2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto \\ \sigma_{03} u & 2\omega_3, 4\omega_1, 4\omega_2 & \omega_3 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto \end{array} \] Rappelons-nous aussi que $2\omega_2$~et~$2\omega_3$ sont des demi-périodes pour~$\sigma_{01} u$, c'est-à-dire que $\sigma_{01}(u + 2\omega_2)$ par exemple est égal à~$-\sigma_{01} u$. De même $2\omega_3$~et~$2\omega_1$ pour~$\sigma_{02} u$, et $2\omega_1$,~$2\omega_2$ pour~$\sigma_{03} u$. \ctb %% -----File: 089.png---Folio 85------- \Chapter{II}{La fonction $\sn u$} \Paragraph{57.}{Définition de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ est un cas particulier de~$\sigma_{01} u$, celui où le \emph{multiplicateur}~$M$ est égal à~$1$. Ainsi $\sn u$~est une fonction elliptique, et elle est complètement déterminée quand on donne le carré de son \emph{module}~$k$. Nous avons vu en effet que la fonction~$\wp u$ est parfaitement déterminée par les trois quantités $e_1, e_2, e_3$ (\Ord{2}{e}~partie, %[xref] chap.~II). Reportons-nous aux formules du \no54; si l'on y fait $M = 1$, elles deviennent \[ e_3 - e_1 = 1, \qquad e_2 - e_1 = k^2; \] jointes à $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles donnent \[ e_1 = -\frac{1 + k^2}{3}, \qquad e_2 = \frac{2k^2 - 1}{3}, \qquad e_3 = \frac{2 - k^2}{3}, \] et en partant de ces trois quantités qui ne dépendent que de~$k^2$, nous pouvons construire une fonction~$\wp u$ et une seule. A cette fonction~$\wp u$ correspond une seule fonction~$\sigma_{01} u$ qui est précisément~$\sn u$: \[ \sn u = \frac{1}{\sqrt{\wp u + \dfrac{1 + k^2}{3}}}. \] \Paragraph{58.}{Équation algébrique entre $\sn u$~et sa dérivée.} --- Si dans l'équation qui lie $\sigma_{01} u$~à sa dérivée~\Eqref{(54)}, nous faisons $M = 1$, nous obtenons la relation algébrique en $\sn u$~et~$\sn'u$ %% -----File: 090.png---Folio 86------- \[ \sn'u = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2u). \] La forme de cette équation différentielle à laquelle satisfait~$\sn u$ confirme le fait que $\sn u$~ne dépend que de~$k^2$. Cette équation différentielle pourrait, avec la condition complémentaire $\sn0 = 0$, servir de définition à~$\sn u$. \Paragraph{59.}{Périodes de $\sn u$.} --- Appelons $2\Omega_1, 2\Omega_2$ les périodes d'une fonction~$\wp u$ telle que $e_3 - e_1 = 1$. D'après ce que nous avons dit des périodes de~$\sigma_{01}u$~\Eqref{(52)}, celles de~$\sn u$ seront $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$ (et aussi~$4\Omega_3$) et l'on aura \[ \sn(u + 2\Omega_2) = -\sn u. \] Ces périodes, nous le savons d'avance, ne doivent dépendre que de~$k^2$. Elles peuvent s'exprimer en fonction de~$k^2$ par des intégrales définies. Voici comment. Nous avons trouvé (\Ord{2}{e}~partie, ch.~II, 24) pour expressions %[xref] des moitiés des périodes de~$\wp u$ en fonction de $e_1, e_2, e_3$ \[ \omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad \omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad \omega_3 = \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \] où \[ Z = 4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3). \] Or $z$~représente ici~$\wp u$ (\textit{loc.\ cit.}). Si nous introduisons une variable~$x$ représentant~$\sn u$, elle sera liée à~$z$ par la relation \[ x = \frac{1}{\sqrt{z + \dfrac{1 + k^2}{3}}}; \] d'où $z = e_1 + \dfrac{1}{x^2}$. En remplaçant~$z$ par cette dernière valeur et $dz$~par~$-\dfrac{2}{x^3}\, dx$, on trouve \[ \frac{dz}{\sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}} = \frac{dx}{±\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}\DPtypo{}{.} \] Aux valeurs $e_1, e_2, e_3$ de~$z$ répondent respectivement les %% -----File: 091.png---Folio 87------- valeurs $\infty$,~$±\dfrac{1}{k}$,~$±1$ de~$x$, comme cela résulte des expressions ci-dessus~\Eqref{(56)} de $e_1, e_2, e_3$ en fonction de~$k$. Les formules qui donnent $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ deviennent alors, si l'on prend pour limites des intégrales les quantités \[ \infty,\ +\frac{1}{k},\ +1 \] par exemple, \[ \Omega_1 = \int_{\frac{1}{k}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad \Omega_2 = \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad \Omega_3 = \int_{\infty}^{\frac{1}{k}} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \] où \[ X = (1 - x^2)(1 - k^2x^2). \] Telles sont les formules qui permettent de calculer les périodes de~$\sn u$ en fonction du module~$k$. La détermination du radical~$\sqrt{X}$ est arbitraire, mais la même dans les trois formules. Ceci prouve que la fonction~$\sn u$, que nous savons être complètement déterminée quand $k^2$~est donné, ne change pas quand on change simultanément les signes des périodes. Ceci n'est du reste qu'un cas particulier d'une proposition que nous démontrerons tout à l'heure~\Eqref{(60)}. \Paragraph{60.}{Cas où le module est réel.} --- Ce cas est particulièrement intéressant. Il y a alors une période réelle et une période purement imaginaire; ces deux périodes sont perpendiculaires l'une sur l'autre, et le réseau des périodes est rectangulaire. Nous pouvons supposer $k$~positif, puisqu'on ne donne que~$k^2$. Admettons pour fixer les idées que $k$~est plus grand que~$1$; le point~$\dfrac{1}{k}$ est situé entre l'origine~$0$ et le point~$1$. On intègre le long de l'axe des quantités réelles. Le radical~$\sqrt{X}$ est imaginaire entre $x = \dfrac{1}{k}$ et $x=1$, réel de $x = 1$ à $x = +\infty$. Par suite $\Omega_2$~est réel et $\Omega_1$~purement imaginaire, comme nous l'avions annoncé. %% -----File: 092.png---Folio 88------- Mais pour calculer $\Omega_1$~et~$\Omega_2$ il faut savoir quelle détermination du radical~$\sqrt{X}$ on doit prendre. Entre les limites $1$~et~$\infty$, prenons par exemple la détermination positive. Entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$ le radical a deux déterminations $±i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)}$. Laquelle choisir? Pour le décider, marquons sur l'axe des quantités réelles deux points % [Illustration] \begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] \Input[2.25in]{092a} \end{wrapfigure} $A$~et~$B$ équidistants du point~$1$, le second situé entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$. Décrivons sur~$AB$ comme diamètre un demi-cercle dans la partie supérieure du plan de la variable~$x$ et supposons que le point~$x$ parti de~$A$ arrive en~$B$ après avoir décrit ce demi-cercle. Pendant ce demi-tour, le radical \[ \sqrt{X} = \sqrt{\smash[b]{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = \sqrt{\vphantom{k^2}x - 1} \sqrt{\smash[b]{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}} \] doit prendre une succession de valeurs continues. Si les deux points $A$~et~$B$ sont infiniment rapprochés, ces valeurs seront infiniment peu différentes. Par conséquent le facteur $\sqrt{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}$, réel et positif en~$A$, est resté réel et positif en~$B$\@. Il suffit donc de savoir ce qu'est devenu le facteur~$\sqrt{x - 1}$. Or, si $\rho$~désigne le rayon du demi-cercle, nous pouvons poser \[ x - 1 = \rho(\cos \varphi + i\sin \varphi), \] l'angle polaire~$\varphi$ étant nul en~$A$ et égal à~$\pi$ au point~$B$; par conséquent \[ \sqrt{x - 1} = \rho^{\frac{1}{2}} \left( \cos\frac{\varphi}{2} + i\sin\frac{\varphi}{2} \right). \] Pour $\varphi = 0$, $\sqrt{x - 1}$~est égal à~$\rho^{\frac{1}{2}}$, et, pour $\varphi = \pi$, à~$+i\rho^{\frac{1}{2}}$. C'est donc la détermination \[ +i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)} \] %% -----File: 093.png---Folio 89------- qu'il faut prendre dans l'intégration de~$\dfrac{1}{k}$ à~$1$ qui fournit~$\Omega_1$. \begin{Theorem}{61.} --- La fonction~$\sn u$ est déterminée quand on donne le rapport de ses périodes. \end{Theorem} Donnons-nous en effet le rapport $\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau$. Nous savons que toute fonction~$\sn u$ dérive d'une fonction~$\wp u$ assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$. D'ailleurs les périodes de~$\sn u$ étant $2\Omega_1, 4\Omega_2$, celles de cette fonction~$\wp u$ sont $2\Omega_1, 2\Omega_2$. On doit donc avoir, en se rappelant la définition des quantités $e_1, e_3$, \[ \wp \Omega_3 - \wp \Omega_1 = 1, \qquad \frac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau. \] Or $\wp u$ est une fonction homogène de degré~$-2$ de l'argument~$u$ et des deux périodes $\Omega_1, \Omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~16). %[xref] Si donc on changeait $\Omega_1, \Omega_2$ en $\mu\Omega_1, \mu\Omega_2$ $\left(\text{ce qui donne toutes les solutions de l'équation } \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau\right)$, on aurait \[ \wp (\mu\Omega_3) - \wp (\mu\Omega_1) = \frac{1}{\mu^2}. \] Il n'y a que les valeurs $\mu = ± 1$ qui satisfassent à la condition $e_3 - e_1 = 1$. Donc une seule fonction~$\wp u$ peut répondre à la question et par suite une seule fonction~$\sn u$. \Paragraph{62.}{Pôles et zéros de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ étant un cas particulier de~$\sigma_{01}u$, les pôles de~$\sn u$ sont~\Eqref{(53)} les points \[ u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. \] Ces pôles sont simples. Il n'y en a que deux dans chaque parallélogramme des périodes. $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ sont deux pôles distincts. Il suit de là que $\sn u$~est une fonction elliptique d'ordre~$2$. %% -----File: 094.png---Folio 90------- Les zéros de~$\sn u$ sont simples. Ce sont les points \[ u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Il y en a deux dans chaque parallélogramme des périodes; $0$~et~$2\Omega_2$ sont deux zéros distincts. \ctb %% -----File: 095.png---Folio 91------- \Chapter{III}{Les fonctions $\cn u$, $\dn u$} \Paragraph{63.}{Définitions de $\cn u$~et de~$\dn u$.} --- Quand on prend pour base de la théorie des fonctions elliptiques la fonction~$\sn u$, on est obligé, pour la simplicité et la symétrie des formules, de lui adjoindre deux autres fonctions elliptiques, $\cn u$~et~$\dn u$, que nous allons définir: c'est ainsi qu'en trigonométrie on est conduit par la même raison à associer au sinus une autre ligne trigonométrique, le cosinus. Cette obligation de faire marcher de front l'étude des trois fonctions $\sn$,~$\cn$,~$\dn$ constitue un désavantage des anciennes fonctions elliptiques, quand on les compare à~$\wp u$. Nous définirons $\cn u$,~$\dn u$ par les relations \begin{align*} \cn u &= \sqrt{1 - \sn^2 u}, \\ \dn u &= \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}, \end{align*} complétées par les conditions \begin{align*} \cn0 &= +1, \\ \dn0 &= +1. \end{align*} Nous allons montrer que $\sn u$~et~$\dn u$ \emph{sont des fonctions uniformes de~$u$}. En effet, puisque $\sn u = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, $\wp u$~étant assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$, nous aurons \begin{gather*} \cn u = \sqrt{1 - \frac{1}{\wp u-e_1}} = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - 1}}{\sqrt{\wp u - e_1}} = \frac{\sqrt{\wp u - e_3}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \\ %% -----File: 096.png---Folio 92------- \dn u = \sqrt{1 - \frac{k^2}{\wp u - e_1}} = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - k^2}}{\sqrt{\wp u - e_1}} = \frac{\sqrt{\wp u - e_2}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \end{gather*} et par suite \begin{align*} \cn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}, \\ \dn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}. \end{align*} Comme $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont des fonctions uniformes de~$u$, la proposition se trouve établie. Les deux dernières formules, jointes à $\sn u = \sigma_{01}u$, montrent que $\sn u$~est une fonction impaire et que $\cn u$,~$\dn u$ sont des fonctions paires, puisque $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont impaires (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 52). %[xref] N'oublions pas que les fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ qui figurent ici ne sont pas les plus générales, à cause de la condition $e_3 - e_1 = 1$. \Paragraph{64.}{Périodes de~$\dn u$ et de~$\cn u$.} --- Reportons-nous au tableau des périodes et demi-périodes des trois fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$~\Eqref{(55)}. \primo La fonction~$\cn u$ a pour périodes $2\Omega_2, 4\Omega_1, 4\Omega_3$. En effet \[ \cn(u + 2\Omega_2) = \frac{ \sigma_{01}(u + 2\Omega_2)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_2)} = \frac{-\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} = \frac{ \sigma_{01}u}{\sigma_{03}u} = \cn u. \] D'autre part \[ \cn(u + 2\Omega_1) = \frac{\sigma_{01}(u + 2\Omega_1)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_1)} = \frac{\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} = -\cn u. \] Ainsi $2\Omega_1$~est une demi-période de~$\cn u$; on montrerait qu'il en est de même de~$2\Omega_3$. Donc $\cn u$~a pour périodes $4\Omega_1, 4\Omega_3$. \secundo La fonction~$\dn u$ a pour périodes $2\Omega_3, 4\Omega_2$ et~$4\Omega_1$. Démonstration analogue; $2\Omega_2$~et~$2\Omega_1$ sont des demi-périodes. \Paragraph{65.}{Pôles et zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$.} --- Les pôles de $\cn u$~et~$\dn u$ sont les mêmes que ceux de~$\sn u$. %% -----File: 097.png---Folio 93------- En effet, si l'on se reporte au tableau du \no56, on constate %[xref] que les pôles de $\sigma_{03}u$~et~$\sigma_{02}u$ sont différents des pôles de~$\sigma_{01}u$. Donc les deux fonctions $\cn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}$, $\dn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}$ admettront tous les pôles de~$\sigma_{01}u$ c'est-à-dire de~$\sn u$, savoir \[ u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. \] Ces pôles sont simples. Elles n'en admettront pas d'autres. Car elles ne pourraient plus avoir comme pôles, l'une que les zéros de~$\sigma_{03}u$, l'autre que ceux de~$\sigma_{02}u$. Ces zéros, communs aux trois fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$, sont les points $2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$. Or $2\Omega_1, 2\Omega_2$ étant des périodes ou des demi-périodes de $\cn u, \dn u$, on a \begin{align*} \cn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\cn0 = ±1, \\ \dn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\dn0 = ±1. \end{align*} Quant aux zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$, ils ne peuvent être les zéros de~$\sigma_{01}u$, puisque ceux-ci donnent à $\cn u, \dn u$ les valeurs~$± 1$. Ce seront donc: pour~$\cn u$ les pôles de~$\sigma_{03}u$ (qui en effet sont distincts de ceux de~$\sigma_{01}u$), et pour~$\dn u$ les pôles de~$\sigma_{02}u$. Par suite, les zéros de~$\cn u$ sont les points \[ u = \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. \] Les zéros de~$\dn u$ sont \[ u = \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. \] Tous ces zéros sont simples. De ce qui précède, on conclut aisément que $\cn u$~et~$\dn u$ n'ont chacune que deux pôles distincts, ce sont donc des fonctions elliptiques du second ordre. Remarquons bien que $\sn u, \cn u, \dn u$ n'ont pas le même parallélogramme des périodes. \Paragraph{66.}{Tableau des périodes, demi-périodes, pôles et zéros de $\sn u, \cn u$, $\dn u$.} --- Rappelons que nous appelons \emph{demi-période} %% -----File: 098.png---Folio 94------- d'une fonction elliptique toute quantité qui, ajoutée à l'argument, ne fait que changer le signe de la fonction. \begin{center} \makebox[0pt][c]{% \footnotesize $\begin{array}{ccccr} \text{Fonction} & \settowidth{\TmpLen}{périodes}% \parbox[c]{\TmpLen}{\centering Demi-\\périodes\medskip} & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \multicolumn{1}{c}{\text{Zéros}} \\ \sn u & 2\Omega_2, 2\Omega_3 & 2\Omega_1, 4\Omega_2, 4\Omega_3 & \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 & 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ % \cn u & 2\Omega_3, 2\Omega_1 & 2\Omega_2, 4\Omega_3, 4\Omega_1 & \Ditto & \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ % \dn u & 2\Omega_1, 2\Omega_2 & 2\Omega_3, 4\Omega_1, 4\Omega_2 & \Ditto & \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \end{array}$} \end{center} \ctb %% -----File: 099.png---Folio 95------- \Chapter{IV}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.\ --- Développements en série.\ --- Dégénérescences} \Paragraph{67.}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Reportons-nous à l'équation qui lie $\sn u$~et sa dérivée~$\sn'u$ \Eqref{(58)} et à celles qui définissent $\cn u$~et~$\dn u$ \Eqref{(63)}. Nous en conclurons immédiatement \begin{gather*} (\sn'u)^2 =(1-\sn^2u)(1-k^2\sn^2 u), \\ \sn'u=+\cn u \dn u. \end{gather*} Nous devons affecter le second membre du signe~$+$ et non du signe~$-$; car, pour $u = 0$, le produit $\cn u\, \dn u$ se réduit à~$+1$. D'autre part, $\sn u$~étant par définition égal à~$\dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, nous aurons \[ \sn'u = -\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u}{(\sqrt{\wp u - e_1})^3} = -\frac{1}{2}\, \frac{-\dfrac{2}{u^3} + \dots} {\left(\dfrac{1}{u} + \dots\right)^3}, \] car le radical~${\sqrt{\wp u - e_1}}$ a la valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$ pour $u$~infiniment petit (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51). %[xref] La valeur de~$\sn'u$ pour $u = 0$ est donc~$+1$. Pour avoir la dérivée de~$\cn u$, il suffit maintenant de différentier \[ \cn u = \sqrt{1-\sn^2u}, \] ce qui donne \[ \cn'u = \frac{-\sn u\, \sn'u}{\sqrt{1 - \sn^2u}} = \frac{-\sn u\, \cn u \dn u}{\cn u} \] %% -----File: 100.png---Folio 96------- ou \[ \cn' u = - \sn u\, \dn u. \] Enfin la dérivée de~$\dn u$ s'obtient en différentiant \[ \dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}; \] donc \[ \dn' u = \frac{-k^2\sn u\, \sn' u}{\sqrt{1 - k^2\sn^2 u}} = \frac{-k^2\sn u\, \cn u\, \dn u}{\dn u} \] ou \[ \dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u. \] Le système des trois équations différentielles \[ \sn' u = \cn u\, \dn u, \quad \cn' u = -\sn u\, \dn u, \quad \dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u, \] avec les données initiales \[ \sn 0 = 0, \qquad \cn 0 = 1, \qquad \dn 0 = 1, \] pourrait servir à définir \textit{a~priori} les trois fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$. On voit sans peine qu'il est équivalent au système \begin{gather*} (\sn'u)^2 = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2 u), \\ \cn u = \sqrt{1 - \sn^2 u},\qquad \dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}. \end{gather*} \Paragraph{68.}{Développements de $\sn u, \cn u, \dn u$ en série de Maclaurin.} --- Les trois formules précédentes qui donnent $\sn' u, \cn' u, \dn' u$ en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$ peuvent être différentiées indéfiniment, et donnent de proche en proche les valeurs des dérivées d'ordre quelconque en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. Si l'on fait alors $u = 0$, et par suite $\sn u = 0$, $\cn u = 1$, $\dn u = 1$, on aura les coefficients des développements des trois fonctions suivant les puissances de~$u$. On trouve ainsi \begin{align*}%[** TN: Aligned] \sn u &= u - \frac{1 + k^2}{6} u^3 + \dots, \\ \cn u &= 1 - \frac{1}{2}\, u^2 + \dots, \\ \dn u &= 1 - \frac{k^2}{2}\, u^2 + \dots\DPtypo{}{.} \end{align*} %% -----File: 101.png---Folio 97------- L'aspect de ces développements confirme le fait que $\sn u$~est une fonction impaire, et que $\cn u$~et~$\dn u$ sont des fonctions paires \Eqref{(63)}. \Paragraph{69.}{Dégénérescences de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- L'équation différentielle \[ \left(\frac{dx}{du}\right)^2 = (1 - x^2)(1 - k^2x^2), \] à laquelle satisfait~$\sn u$, fait immédiatement connaître les dégénérescences de~$\sn u$, et par suite \DPtypo{celle}{celles} de $\cn u, \dn u$, dans les deux cas limites $k = 0$ et~$k = ±1$. \primo Si $k = 0$, cette équation donne $x = \sin u$ sans constante d'intégration, car $x$~doit s'annuler en même temps que~$u$. Ainsi $\sn u$~dégénère en~$\sin u$; par suite~$\cn u$ en~$\cos u$, et $\dn u$~se réduit à~$1$. \secundo Si $k = ±1$, l'intégration donne \[ u = \int_0^x \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2}\log\frac{1 + x}{1 - x}, \] d'où \[ x = \frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}} = \Tanh u. \] Donc $\sn u$ dégénère en $\Tanh u$, et par conséquent $\cn u$~et~$\dn u$ en \[ \sqrt{1 - \left(\frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}}\right)^2} = \frac{2}{e^u + e^{-u}} = \frac{1}{\Cosh u}. \] \ctb %% -----File: 102.png---Folio 98------- \Chapter{V}{Addition des arguments.\ --- Équation d'Euler. Multiplication de l'argument des fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$} \Paragraph{70.}{Expression de $\sn (u + v) + \sn (u - v)$ en fonction rationnelle de~$\sn u$.} --- Pour rester fidèle à l'esprit de notre méthode, nous devrions déduire la formule qui donne $\sn (u+v)$~en fonction de $\sn u, \sn v$, $\cn u, \cn v$, $\dn u, \dn v$, de celle qui fournit l'expression de $\wp(u + v)$ au moyen de $\wp u, \wp v$, $\wp' u, \wp' v$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41). Ce calcul étant pénible, %[xref] nous préférons employer les considérations assez simples que voici. Cherchons s'il est possible d'exprimer rationnellement au moyen de~$\sn u$ la fonction \[ f(u) = \sn(u + v) + \sn(u - v). \] Elle admet comme~$\sn u$ les périodes $2\Omega_1, 4\Omega_2$. Les pôles, simples comme ceux de~$\sn u$, sont donnés par la formule \[ u = \mp v + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. \] Les pôles distincts sont au nombre de quatre, par exemple \[ -v + \Omega_1, \quad -v + \Omega_1 + 2\Omega_2\DPtypo{;}{,} \quad +v + \Omega_1, \quad +v + \Omega_1 + 2\Omega_2. \] La fonction elliptique~$f(u)$ est donc du \Ord{4}{e}~ordre. Il est facile de former une fonction rationnelle de~$\sn u$ aux mêmes périodes et aux mêmes pôles que~$f(u)$. La plus %% -----File: 103.png---Folio 99------- simple possible est \[ \varphi(u) = \frac{1}{\sn u - \sn(-v + \Omega_1)} · \frac{1}{\sn u - \sn( v + \Omega_1)}. \] En effet, la fonction $\sn u - \sn(-v + \Omega_1)$ étant, comme~$\sn u$, du second ordre, admet deux zéros distincts; l'un est évidemment $u = -v + \Omega_1$, l'autre est \[ u = -v + \Omega_1 + 2\Omega_2, \] car $2\Omega_2$~étant une demi-période, on a \[ \sn(-v + \Omega_1 + 2\Omega_2) = -\sn(+v - \Omega_1) = +\sn(-v + \Omega_1). \] De même $\sn u - \sn(v + \Omega_1)$ admet les zéros $v + \Omega_1, v + \Omega_1 + 2\Omega_2$. De là résulte que~$\varphi(u)$ admet les mêmes pôles que~$\DPtypo{fu}{f(u)}$. Ces pôles étant simples, le quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$ ne peut admettre d'autres pôles que les zéros de~$\varphi(u)$ et d'autres zéros que les zéros de~$f(u)$. Étudions maintenant ce quotient. Nous allons montrer qu'il a mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$. \primo \textit{Pôles de~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- L'expression de~$\varphi(u)$ peut s'écrire \[ \varphi(u) = \frac{1}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}, \] car \begin{align*} -\sn(-v + \Omega_1) &= - \sn(-v + \Omega_1 - 2\Omega_1) \\ &= - \sn(-v - \Omega_1) = + \sn( v + \Omega_1). \end{align*} Les zéros de~$\varphi(u)$ sont les pôles de~$\sn^2 u$. Ces pôles sont les mêmes que ceux de~$\sn u$, savoir \[ \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; \] seulement ils sont doubles. D'autre part, $f(u)$~admet les zéros \[ \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, \] dont deux seulement, par exemple $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$, sont %% -----File: 104.png---Folio 100------- distincts, car \begin{align*} &\begin{aligned} f(\Omega_1) = \sn(\Omega_1 + v) + \sn(\Omega_1 - v) &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn\bigl[2\Omega_1 - (\Omega_1 - v)\bigr] \\ &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 + v) = 0, \end{aligned} \\ &\begin{aligned} f(\Omega_1 + 2\Omega_2) &= \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 + v) + \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 - v) \\ &= -\sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 - v) = 0. \end{aligned} \end{align*} Ainsi $f(u)$~admet pour zéros les pôles de~$\varphi(u)$. Ces zéros étant simples, tandis que ces pôles sont doubles, $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$~admet pour pôles simples les points $\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$, qui sont précisément les pôles de~$\sn u$. \secundo \textit{Zéros de $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- Ces zéros, nous l'avons dit, ne peuvent être que des zéros de~$f(u)$. Ceux-ci sont au nombre de quatre distincts, puisque $f(u)$~est une fonction elliptique du quatrième ordre. Nous en connaissons déjà deux, $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ qui, nous venons de le voir, n'annulent pas~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$. Vérifions directement que les deux autres sont les zéros distincts de~$\sn u$, savoir $0$~et~$2\Omega_2$. En effet \begin{gather*} f(0) = \sn v + \sn (-v) = 0, \\ f(2\Omega_2) = \sn (2\Omega_2 + v) + \sn (2\Omega_2 - v) = -\sn v - \sn(-v) = 0. \end{gather*} La fonction elliptique~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, ayant mêmes périodes, mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$ avec le même degré~$1$ de multiplicité, est proportionnelle à~$\sn u$: \[ \frac{f(u)}{\varphi(u)} = C \sn u. \] On a donc, en remplaçant $f(u), \varphi(u)$ par leurs valeurs, \[ \sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}. \] Nous déterminerons tout à l'heure la constante~$C$, mais il importe d'abord d'exprimer $\sn(v + \Omega_1)$ en fonction de~$\sn v$. %% -----File: 105.png---Folio 101------- Les pôles de $\sn(v+\Omega_1)$ sont donnés par la formule \begin{align*} v + \Omega_1 &= \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, \\ \intertext{d'où} v &= 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; \end{align*} ses zéros par la formule \[ v + \Omega_1 = 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, \] d'où \[ v = -\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 = \Omega_1 + 2m'_1\Omega_1 + 2m'_2\Omega_2. \] Ainsi $\sn(v + \Omega_1)$ a pour pôles les zéros et pour zéros les pôles de~$\sn v$; donc \[ \sn(v + \Omega_1) = \frac{A}{\sn v}. \] Pour déterminer la constante~$A$, faisons $\sn v = 1$, d'où $\cn v = 0$, relation vérifiée par $v = \Omega_3$ \Eqref{(66)}; il viendra \[ A = \sn(\Omega_3 + \Omega_1) = \sn(-\Omega_2) = -\sn(\Omega_2), \] mais l'on a~\Eqref{(66)} $\dn \Omega_2 = 0$, c'est-à-dire $1 - k^2 \sn^2 \Omega_2 = 0$, par conséquent \[ A^2 = \sn^2 \Omega_2 = \frac{1}{k^2} \] et \[ \sn^2 (v + \Omega_1) = \frac{1}{k^2\sn^2 v}. \] Substituant dans la formule qui donne $\sn(u + v) + \sn(u - v)$, on a \[ \sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \dfrac{1}{k^2\sn^2 v}} = \frac{C' \sn u}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. \] Pour déterminer~$C'$ (qui ne dépend que de~$v$), prenons les dérivées des deux membres par rapport à~$u$, et faisons $u = 0$; en tenant compte de ce que $\cn v, \dn v$ sont des fonctions impaires, nous obtiendrons facilement \[ C' = 2 \sn v\, \dn v. \] Finalement \[ \sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{2 \sn u\, \cn v\, \dn v}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. \] %% -----File: 106.png---Folio 102------- \Paragraph{71.}{Addition des arguments pour les fonctions $\sn, \cn, \dn$.} --- Si nous ajoutons à l'équation précédente celle qu'on en déduit en y changeant~$u$ en~$v$ et $v$~en~$u$, on obtient la \emph{formule d'addition des arguments} pour la fonction~$\sn$ \[ \sn(u+v) = \frac{\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u} { 1 - k^2\sn^2u\, \sn^2 v}. \] On en conclut aisément celle qui donne~$\cn(u + v)$. On a en effet \begin{multline*}%[** Align?] \cn^2(u + v) = 1 - \sn^2(u+v) \\ = \frac{(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2 - (\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u)^2} {(1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v)^2}. \end{multline*} Or \[ 1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v = \cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v = \cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u. \] Si l'on remplace au numérateur $(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2$ par \[ (\cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v)(\cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u), \] ce numérateur prendra la forme $(\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v)^2$. Extrayant la racine carrée, on aura la formule cherchée \[ \cn(u + v) = \frac{\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v} {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. \] Il faut prendre le signe~$+$ devant les deux membres pour qu'ils deviennent identiques si l'on y fait $v = 0$. On vérifiera de même l'expression de~$\dn(u + v)$ \[ \dn(u + v) = \frac{\dn u\, \dn v - k^2\sn u\, \cn u\, \sn v\, \cn v} {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. \] \Paragraph{72.}{Équation d'Euler.} --- La formule d'addition pour la fonction~$\sn$ donne le moyen d'intégrer immédiatement l'équation différentielle d'Euler \[ \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} + \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = 0. \] %% -----File: 107.png---Folio 103------- Posons \[ \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du; \qquad \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = dv. \] Nous satisfaisons à ces deux dernières équations différentielles en prenant \[ x = \sn u, \qquad y = \sn v. \] Par la substitution des variables $u, v$ aux variables $x, y$, l'équation d'Euler devient $du + dv = 0$, d'où \[ u + v = \text{const.}, \qquad \sn(u + v) = C. \] Remplaçons $\sn(u+v)$ par sa valeur ci-dessus~\Eqref{(71)} et remarquons que \begin{align*} \cn u &= \sqrt{1 - x^2}, & \dn u &= \sqrt{1 - k^2x^2}, \\ \cn v &= \sqrt{1 - y^2}, & \dn v &= \sqrt{1 - k^2y^2}; \end{align*} il vient \[ \frac{x\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)} + y\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}{1 - k^2x^2y^2} = C. \] Donc \emph{l'intégrale générale de l'équation d'Euler est algébrique}. Ce résultat est bien remarquable si l'on songe que l'intégrale de l'équation plus simple \[ \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du \] est transcendante; cette intégrale est \[ x = \sn(u + C). \] \Paragraph{73.}{Multiplication de l'argument de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Si, dans les formules~\Eqref{(71)} qui donnent $\sn(u + v), \cn(u + v), \dn(u + v)$, on fait $v = u$, on trouve \[ \sn 2u = \frac{2\sn u\, \cn u\, \dn u}{1 - k^2\sn^4 u}, \qquad \ldots. \] %% -----File: 108.png---Folio 104------- Ainsi $\sn 2u, \cn 2u, \dn 2u$ s'expriment rationnellement en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. Il en est de même de $\sn mu, \cn mu, \dn mu$; et l'on obtiendra de proche en proche les expressions de ces fonctions en faisant $v$~égal successivement à $2u, 3u, \dots$ dans les formules d'addition. \ctb %% -----File: 109.png---Folio 105------- \Part{Quatrième Partie}{Les fonctions $\theta$} %% -----File: 110.png---Folio 106------- % [Blank Page] %% -----File: 111.png---Folio 107------- \Chapter{I}{La fonction $\theta$.\ --- Expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ au moyen de cette fonction} En partant des périodes comme données, nous avons formé les expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I, 15; %[xrefs] ch.~III, 26,~28). Ces expressions qui sont des séries à double entrée ne sont évidemment pas commodes pour calculer ces fonctions. Mais l'introduction des quatre fonctions $\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ de Jacobi va nous fournir le moyen le plus pratique pour exécuter ce calcul. \Paragraph{74.}{Construction de la fonction~$\theta u$.} --- Il est facile, en partant de~$\sigma u$, de construire une fonction entière simplement périodique~$\theta u$, de demi-période~$2\omega_1$, c'est-à-dire telle que $\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u$. Posons en effet \[ \theta u = \varphi(u)\, \sigma u, \] d'où (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] \[ \theta(u + 2\omega_1) = -\theta u = -\varphi(u + 2\omega_1)\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. \] La comparaison entre cette équation et la précédente montre que l'on doit avoir \[ \varphi(u + 2\omega_1) = e^{-2\eta_1(u + \omega_1)}\, \varphi(u). \] La manière la plus simple de choisir~$\varphi(u)$ de façon à %% -----File: 112.png---Folio 108------- satisfaire à cette condition est de prendre \[ \varphi(u) = \frac{1}{A}\, e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}, \] $A$~étant une constante. Par suite \[ A\, \theta u = e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. \] La fonction~$A\, \theta u$ étant entière, périodique, de période~$4\omega_1$ (puisqu'elle admet la demi-période~$2\omega_1$), est développable en série de Fourier: \[ A \theta u = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{2\pi iu}{4 \omega_1}} = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{ \pi iu}{2 \omega_1}}. \] Déterminons les coefficients~$A_m$. D'abord nous savons que $\theta u$~change de signe quand on accroît~$u$ de~$2\omega_1$. Chacun des termes du développement est alors multiplié par \[ e^{m\, \frac{\pi i 2\omega_1}{2 \omega_1}} = e^{m\pi i} = \begin{cases} +1 & \text{ si $m$~est pair,} \\ -1 & \text{ si $m$~est impair.} \end{cases} \] Il suffit donc que les coefficients des termes où $m$~est pair soient nuls, et cela est nécessaire comme on le démontre dans la théorie de la série de Fourier. Le développement se réduit par suite à \[ A\, \theta u = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2 \omega_1}}. \] En second lieu examinons l'effet sur~$\theta u$ du changement de~$u$ en~$u + 2\omega_2$. Ce changement multipliant~$\sigma u$ par $-e^{+2\eta_2(u + \omega_2)}$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 28), on aura %[xref] \begin{align*} A\, \theta (u + 2\omega_2) &= -e^{-\eta_1\, \frac{(u + 2\omega_2)^2}{2\omega_1}} \centerdot e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u \\ &= -e^{2(\eta_2\omega_1 - \eta_1\omega_2)\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, e^{-\eta_1\, \frac{u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. \end{align*} %% -----File: 113.png---Folio 109------- C'est ici que nous utilisons l'importante relation (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29) %[xref] \[ 2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. \] N'oublions pas qu'elle suppose que la partie imaginaire du rapport $\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ est positive (sinon le second membre serait égal à~$-\pi i$). Cette relation nous donne \[ \theta(u + 2\omega_2) = -e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, \theta u. \] La propriété de la fonction~$\theta$ de se reproduire multipliée par l'exponentielle $-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}$ détermine tous les coefficients de son développement. On a, en effet, d'une part, \[ A\, \theta(u + 2\omega_2) = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n-1}\, e^{\pi i\, \frac{(u + 2\omega_2)}{2\omega_1}\, (2n-1)}, \] d'autre part, \begin{align*} -e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, A\, \theta u &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, e^{\frac{\pi i u}{2\omega_1}\, (2n+1) - \pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}} \\ &= \sum_{-\infty}^{+\infty} -A_{2n+1}\, e^{\pi i\, \frac{u + 2\omega_2}{2\omega_1}\, (2n-1)}\, e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. \end{align*} Nous avons là deux séries de Fourier qui doivent être identiques: on sait qu'alors ceux de leurs termes où l'argument $\dfrac{\pi iu}{2\omega_1}$ est affecté du même multiple entier doivent être égaux. On en conclut \[ A_{2n-1} = -A_{2n+1}\, e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. \] Si, pour abréger, on pose \[ q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}, \] %% -----File: 114.png---Folio 110------- on aura \begin{align*}%[** TN: Modernizing notation (n-1)] A_{2n+1} &= -A_{2n-1}\, q^{2n} = +A_{2n-3}\, q^{2n + 2(n-1)} = \dots \\ &= (-1)^n A_1\, q^{2[n + (n-1) + \dots + 1]} \\ &= (-1)^n A_1\, q^{\frac{2n(n+1)}{2}} = (-1)^n A_1\, q^{-\frac{1}{4}}\centerdot q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. \end{align*} Prenons $A_1$ égal à $-iq^{\frac{1}{4}}$; il en résultera \[ A_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{i}\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. \] La série~$\theta u$ est dès lors complètement déterminée, et son expression définitive est \[ \theta u = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \] \Paragraph{75.}{Expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ en fonction de~$\theta u$.} \primo Pour avoir $\sigma u$~en fonction de~$\theta u$, il suffit de déterminer~$A$ dans la formule~\Eqref{(74)} \[ e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u = A\, \theta u. \] Pour déterminer~$A$, développons en série de Maclaurin les trois fonctions $e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}$,~$\sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 31) et~$\theta u$, %[xref] nous aurons \begin{multline*} \left(1 - \frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1} + \frac{1}{1\centerdot 2}\, \frac{\eta_1^2 u^4}{4\omega_1^2} - \dots\right) \centerdot u(1 + d_1 u^4 + \dots) \\ = A \left(\theta 0 + u \theta' 0 + \frac{u^2}{1\centerdot 2}\theta'' 0 + \frac{u^3}{1\centerdot 2\centerdot 3}\theta''' 0 + \dots \right). \end{multline*} L'identification donne \[ \theta 0 = 0, \quad A\, \theta' 0 = 1, \quad \theta'' 0 = 0, \quad \frac{A\,\theta''' 0}{6} = -\frac{\eta_1}{2\omega_1}, \quad \ldots \] d'où l'on tire \[ A = \frac{1}{\theta' 0}, \qquad \frac{\eta_1}{2\omega_1} = -\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}; \] %% -----File: 115.png---Folio 111------- et nous avons l'expression cherchée de~$\sigma u$ \[ \sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0} = e^{-\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u^2}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}. \] \secundo En prenant la dérivée logarithmique de cette expression, on trouve \[ \zeta u = -\frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u + \frac{\theta' u}{\theta u}. \] \DPtypo{\quarto}{\tertio} Différentions cette dernière formule et changeons les signes des deux membres; nous aurons \[ \wp u = \frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0} - \frac{\theta u\, \theta'' u - \theta'^2 u}{\theta^2 u}. \] Ces trois expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ résolvent le problème que nous nous étions proposé, de calculer ces trois fonctions en les représentant par des séries simples. Toutefois la dernière formule n'est pas très favorable au calcul de~$\wp u$. Nous en obtiendrons de plus appropriées au même objet en introduisant, après Jacobi, trois nouvelles séries $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$ très analogues à~$\theta u$. Ces séries sont également utiles pour représenter $\sn u, \cn u, \dn u$. \ctb %% -----File: 116.png---Folio 112------- \Chapter{II}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$. Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions $\theta$} \Paragraph{76.}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$.} --- L'étude de~$\theta u$ va nous conduire à ces nouvelles fonctions. Cherchons ce que $\theta u$~devient quand on augmente l'argument~$u$ successivement de $\omega_1, \omega_2, \omega_3$. \primo Augmentons~$u$ de~$\omega_1$. Nous aurons \[ \theta(u + \omega_1) = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}}. \] Or \[ e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}} = e^{(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} = (-1)^n\, ie^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \] Si donc nous posons \[ \theta_1(u) = \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \] nous aurons \[ \theta(u + \omega_1) = \theta_1u. \] \secundo Augmentons~$u$ de~$\omega_2$, il vient \[ \theta(u + \omega_2) = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_2)}{2\omega_1}} \] %% -----File: 117.png---Folio 113------- ou bien, si nous changeons $n$~en~$n-1$, \[ \theta(u + \omega_2) = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^{n-1}\, q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n-1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}}\DPtypo{}{.} \] Mais, en se rappelant~\Eqref{(74)} que $e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} = q$, on a \[ q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}} = q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, q^{n - \frac{1}{2}} = q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}}; \] par suite \[ \theta(u + \omega_2) = \frac{-1}{i}\, q^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \] Si donc on pose \[ \theta u_2 = \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \] on aura \[ \theta(u + \omega_2) = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u. \] \tertio Augmentons~$u$ de~$\omega_3$; $\theta u$~deviendra \begin{align*} \theta(u + \omega_3) &= \theta(u - \omega_1 - \omega_2) \\ &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}}. \end{align*} Or \begin{align*} e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}} &= e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, e^{-(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ &= -(-1)^n\, iq^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \end{align*} Par conséquent \begin{align*} \theta(u + \omega_3) &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, q^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} \\ &= -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \end{align*} %% -----File: 118.png---Folio 114------- Si donc on pose \[ \theta_3 u = \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \] on aura \[ \theta(u + \omega_3) = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. \] Rapprochons les quatre séries qui représentent $\theta u, \theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$, ainsi que les trois relations qui lient la première de ces quatre fonctions aux trois autres: \begin{gather*} \begin{aligned} \theta u &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ \theta_1 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ \theta_2 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ \theta_3 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. \end{aligned} \\ \theta(u + \omega_1) = \theta_1 u, \\ \theta(u + \omega_2) = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u, \\ \theta(u + \omega_3) = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. \end{gather*} Rappelons-nous la signification de~$q$ \[ q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. \] \Paragraph{77.}{Expression de $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ par les fonctions~$\theta$.} --- Reportons-nous à la définition (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) des fonctions %[xref] %% -----File: 119.png---Folio 115------- elliptiques $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ qui servent de traits d'union entre~$\wp u$ d'une part et $\sn u, \cn u, \dn u$ de l'autre. Nous avons d'abord \[ \sigma_{01} u = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. \] Il n'est pas difficile d'avoir l'expression de~$\sigma_{01} u$ au moyen des fonctions~$\theta$, puisque nous connaissons celle de~$\sigma u$~\Eqref{(75)}, savoir: \[ \sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}. \] Nous en concluons \begin{gather*} \sigma\omega_1 = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta\omega_1}{\theta' 0} = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta_1 0 }{\theta' 0}, \\ \sigma(u + \omega_1) = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta(u + \omega_1)}{\theta' 0} = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta_1u}{\theta' 0}. \end{gather*} Donc \[ \sigma_{01} u = \frac{\theta_1 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_1 u}. \] Un calcul peu différent conduirait aux deux autres expressions analogues \begin{align*} \sigma_{02} u &= \frac{\theta_2 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_2 u}, \\ \sigma_{03} u &= \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_3 u}. \end{align*} Pour obtenir la dernière par exemple, il suffit de se reporter~\Eqref{(55)} à la formule \[ \sigma_{03} u = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}, \] et d'y substituer la valeur ci-dessus de~$\sigma u$ en fonction de~$\theta u$, ainsi que les valeurs suivantes qu'on en déduit: \begin{gather*} \sigma \omega_3 = e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta\omega_3}{\theta' 0} = -e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, q^{-\frac{1}{4}}\, \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}, \\ \sigma (u + \omega_3) = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta(u + \omega_3)}{\theta' 0} = -e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \frac{\theta_3 u}{\theta' 0}. \end{gather*} %% -----File: 120.png---Folio 116------- Il vient ainsi \[ \sigma_{03} u = e^{\eta_3 u}\, e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, e^{\frac{\eta_1 \omega_3^2}{2\omega_1}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, e^{\frac{-\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_3 u}; \] et il est facile de constater que le facteur exponentiel se réduit à l'unité à cause de la relation \[ 2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. \] \Paragraph{78.}{Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\theta$.} --- Rappelons-nous que $\sn u, \cn u, \dn u$ dérivent d'une fonction~$\wp u$ aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ pour laquelle on a $e_3 - e_1 = 1$ (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57), et que l'on a (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57, et ch.~III, 63) %[xrefs] \[ \sn u = \sigma_{01} u, \qquad \cn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{03} u}, \qquad \dn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{02} u}. \] Appelons $\Theta, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3$ les fonctions $\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ dans lesquelles $\omega_1$~et~$\omega_2$ sont remplacées par $\Omega_1, \Omega_2$, nous aurons ces expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\Theta$ \begin{align*} \sn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta' 0}\, \frac{\Theta u}{\Theta_1 u}, \\ \cn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_3 0}\, \frac{\Theta_3 u}{\Theta_1 u}, \\ \dn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_2 0}\, \frac{\Theta_2 u}{\Theta_1 u}. \end{align*} Il ne faut pas oublier que dans ces formules les périodes de $\sn u, \cn u, \dn u$ sont respectivement: $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$; $2\Omega_2$~et~$4\Omega_1$; $-2(\Omega_1+\Omega_2)$~et~$4\Omega_1$ (\Ord{3}{e}~partie, ch.~III, 66). %[xref] \ctb %% -----File: 121.png---Folio 117------- \Chapter{III}{Calcul de $\wp u, \sn u, \cn u, \dn u$ en fonction des périodes} \Paragraph{79.}{Calcul de~$\wp u$ en fonction des périodes.} --- L'expression de~$\sigma_{01} u$ par les fonctions~$\theta$ nous fournit le moyen pratique de calculer~$\wp u$ pour chaque valeur de l'argument~$u$, quand on donne les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. On a en effet (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) %[xref] \[ \sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \] d'où~\Eqref{(77)} \[ \wp u - e_1 = \left(\frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 u}{\theta u}\right)^2. \] Comme les fonctions~$\theta$ ne dépendent que des périodes, on pourra calculer~$\wp u$ quand on saura évaluer~$e_1$ en fonction de $\omega_1, \omega_2$. C'est un calcul que nous apprendrons à effectuer tout à l'heure~\Eqref{(81)}. \Paragraph{80.}{Problème inverse.} --- On donne~$\wp u$ et l'on propose de calculer les valeurs correspondantes de~$u$. Soit~$u_0$ l'une d'elles; toutes les autres ont pour expression \[ u = ± u_0 + 2m_1 \omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Or on a les formules analogues à celles du \no précédent, \begin{align*} \sqrt{\wp u - e_2} &= \frac{\theta' 0}{\theta_2 0}\, \frac{\theta_2 u}{\theta u}, \\ \sqrt{\wp u - e_3} &= \frac{\theta' 0}{\theta_3 0}\, \frac{\theta_3 u}{\theta u}. \end{align*} %% -----File: 122.png---Folio 118------- Divisons-les membre à membre et posons \[ ± b = \frac{\sqrt{\wp u -e_2}}{\sqrt{\wp u -e_3}}\, \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0}; \] $b$~sera une quantité connue, si l'on a préalablement calculé $e_2, e_3$ en fonction de~$\omega_1, \omega_2$, calcul que nous allons faire tout à l'heure~\Eqref{(81)}. On aura alors pour déterminer~$u$ l'équation transcendante \[ \frac{\theta_2 u}{\theta_3 u} = ± b\qquad \text{ou} \qquad \frac{\theta_3 u - \theta_2 u}{\theta_3 u + \theta_2 u} = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. \] Pour la résoudre, il convient de changer de variable et de poser \[ z = e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} \] d'où, en se rappelant qu'on a~\Eqref{(74)} $q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}$, \[ z^2 = e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}\, e^{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)\, \frac{\pi i}{\omega_1}} = q^{2m_2}\, e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}. \] Ainsi à chaque valeur de~$\wp u$ correspondent une infinité de valeurs de~$z^2$ formant deux progressions géométriques de raison~$q^2$; ces valeurs sont deux à deux réciproques l'une de l'autre. Si dans les fonctions $\theta_2 u, \theta_3 u$, on remplace $e^\frac{\pi iu}{2\omega_1}$ par~$z$, qu'on groupe les puissances de~$z$ égales et de signe contraire, et qu'on divise $\theta_3 - \theta_2$ par $\theta_3 + \theta_2$, on obtient \[ \frac{q \left(z^2 + \dfrac{1}{z^2}\right) + q^9\left(z^6 + \dfrac{1}{z^6}\right) + \dots} {1 + q^4\left(z^4 + \dfrac{1}{z^4}\right) + \dots} = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. \] Cette équation a pour racines les valeurs de~$z$ en nombre infini formant les deux progressions géométriques dont on vient de parler. Une première approximation, légitime parce que le module %% -----File: 123.png---Folio 119------- de~$q$ est inférieur à~$1$ (voir \Eqref{80~\textit{bis}}), donne \[ q\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. \] On a ainsi deux des racines, qu'on calculera d'ailleurs aussi exactement qu'on voudra par approximations successives. Connaissant l'une des valeurs de~$z^2$, on a la valeur correspondante~$u_0$ de~$u$ par l'équation \[ u_0 = \frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2, \] où le signe~$\log$ désigne une seule des déterminations du logarithme. Les autres valeurs de~$u$ sont données par la formule \[ u = ±\frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] \Paragraph{80}{bis. \textsc{Remarque}.} --- Il importe visiblement, pour la convergence rapide des approximations qui fournissent la valeur de~$z$, que $q$~ait le plus petit module possible. Or $\wp u$~ne change pas quand on substitue aux périodes données des périodes équivalentes, c'est-à-dire conservant les sommets du réseau. Voyons comment il faut choisir ces périodes pour que le module de~$q$ soit minimum. Si $\tau$~désigne le rapport des périodes, nous avons (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 4) %[xref] \[ \tau = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i = r + si. \] D'ailleurs \[ q = e^{\pi i \tau}, \qquad \Mod q = e^{-\pi s}. \] Les calculs que nous avons effectués sur les fonctions~$\theta$ impliquent qu'on ait choisi $\omega_1$~et~$\omega_2$ de façon que~$s$, coefficient de la partie imaginaire du rapport des périodes, soit positif; donc $\Mod q$~est plus petit que~$1$. D'ailleurs $\alpha_1\beta2 - \alpha_2\beta_1$ désignant l'aire~$P$ du parallélogramme des périodes (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 4), on peut écrire %[xref] \[ s = \frac{P}{(\Mod \omega_1)^2}. \] %% -----File: 124.png---Folio 120------- Or tous les parallélogrammes formés par des périodes équivalentes étant équivalents (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 5), $P$~est %[xref] une constante du réseau. Par suite, pour que $\Mod q$~soit le plus petit possible, $s$~devant être le plus grand possible, on devra prendre pour~$2\omega_1$ la période de \emph{module minimum}. \Paragraph{81.}{Calcul de $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes.} --- Il nous reste à déterminer en fonction des périodes les trois quantités $e_1, e_2, e_3$, indispensables, comme nous l'avons vu (\Eqref{79}~et~\Eqref{80}), pour le calcul de~$\wp u$. Dans la formule du~\no79 qui fournit~$\wp u$, nous n'avons qu'à faire successivement $u = \omega_2$, $u = \omega_3$; nous aurons \begin{align*} e_2 - e_1 &= \left[ \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_2}{\theta \omega_2} \right]^2,\\ e_3 - e_1 &= \left[ \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_3}{\theta \omega_3} \right]^2. \end{align*} Nous allons transformer ces formules de façon que les symboles~$\theta$ ne portent que sur l'argument~$0$. Pour cela reportons-nous aux formules rassemblées à la fin du~\no76. Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_2)$ faisons $u=0$, nous aurons \[ \theta \omega_2 = iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. \] Dans celle qui donne~$\theta_1 u$ faisons $u = \omega_2$, il viendra \[ \theta_1 \omega_2 = \sum q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} = q^{-\frac{1}{4}} \sum q^{(n+1)^2} = q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. \] Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_3)$~\Eqref{(76)}, faisons $u = 0$, nous trouvons \[ \theta \omega_3 = -q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. \] Enfin dans celle qui donne $\theta(u + \omega_1)$, faisons $u = \omega_3$, nous obtenons %% -----File: 125.png---Folio 121------- \begin{align*} \theta_1 \omega_3 = \theta(\omega_3 + \omega_1) &= \theta(-\omega_2) \\ &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}} = -iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. \end{align*} Les séries $\theta 0, \theta_1 0, \theta_2 0, \theta_3 0$ ne dépendent que de $q = e^{\frac{\pi i\omega_2}{\omega_1}}$, c'est-à-dire que du rapport~$\tau$ des périodes. Mais $\theta' 0$~dépend à la fois de~$\tau$ et de~$\omega_1$. Pour mettre cette dernière quantité en évidence, appelons~$\vartheta u$ ce que devient la série~$\theta u$ lorsqu'on y fait $2\omega_1 = 1$; il est clair que l'on a \[ \theta' 0 = \frac{1}{2\omega_1}\, \vartheta' 0, \] $\vartheta' 0$~ne dépendant que de~$q$. Les expressions de $e_2 - e_1, e_3 - e_1$ deviennent alors \begin{align*} e_2 - e_1 &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_3 0}{\theta_2 0} \right]^2, \\ e_3 - e_1 &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0} \right]^2. \end{align*} Jointes à la relation $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles permettent de calculer $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes. \Paragraph{82.}{Calcul de $\sn u, \cn u, \dn u$ en fonction du rapport des périodes.} --- Nous avons vu (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 59) que $\sn u$~et par suite, $\cn u, \dn u$ ne dépendent que du rapport de leurs périodes. Nous allons le démontrer d'une autre manière et du même coup donner le moyen pratique de calculer ces trois fonctions quand on connaît ce rapport. Rappelons-nous toujours que ces fonctions dérivent d'une fonction~$\wp u$ aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$, et telle que $e_3 - e_1 = 1$. Le carré du module~$k^2$ est égal à $e_2 - e_1$ et par suite à $\dfrac{e_2-e_1}{e_3-e_1}$. Donc %% -----File: 126.png---Folio 122------- \[ k^2 = \left[\frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}\right]^4 = \left[ \frac{1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + \dots} {1 - 2q + 2q^4 - 2q^9 + \dots} \right]^4. \] On voit que $k^2$~ne dépend que du rapport $\tau = \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}$ (puisque $q = e^{\pi i\tau}$). Or nous savons que la connaissance de~$k^2$ suffit pour déterminer $\sn u, \cn u, \dn u$. Maintenant, comme $e_3 - e_1$ est égal à~$1$, on aura, en extrayant la racine de l'expression ci-dessus de $e_2 - e_1$, \[ ± i = \frac{1}{2\Omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\Theta_1 0}\, \frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}, \] relation qui donnera $\Omega_1$~en fonction de~$q$, c'est-à-dire de~$\tau$. On peut prendre indifféremment l'une ou l'autre des déterminations. Connaissant~$\Omega_1$, on pourra, pour chaque valeur de~$u$, calculer $\sn u, \cn u, \dn u$ par les formules du~\no78. \ctb %% -----File: 127.png---Folio 123------- \Additions Au \no51 (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II) nous avons laissé au lecteur le %[xrefs] soin de vérifier la formule \[ \sigma(u - 2\omega_1) = -e^{-2\eta_1(u - \omega_1)}\, \sigma u. \] On l'établit immédiatement en changeant~$u$ en~$u - 2\omega_1$ dans la relation démontrée (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) \[ \sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. \] Au chap.~III de la \Ord{2}{e}~partie, nous avons indiqué ce que devient~$\sigma u$ dans le cas seulement où l'on ajoute à l'argument~$u$ l'une des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ de~$\wp u$ (en supposant que les moitiés $\omega_1, \omega_2$ ne sont pas des périodes de cette dernière fonction). Il est utile de savoir ce que devient~$\sigma u$ quand on augmente~$u$ d'une période quelconque \[ 2\omega = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. \] Augmentant d'abord de~$4\omega_1$, on a \begin{align*} \sigma(u + 4\omega_1) &= \sigma(\overline{u + 2\omega_1} + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(\overline{u + 2\omega_1} + \omega_1)}\, \sigma(u + 2\omega_1)\\ &= +e^{2\eta_1(u + 3\omega_1)}\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u = e^{2\eta_1[2u + \omega_1(1 + 3)]}\, \sigma u. \end{align*} En calculant ainsi de proche en proche, on arrive à \begin{align*} \sigma(u + 2m_1\omega_1) &= (-1)^{m_1}\, e^{2\eta_1[m_1u + \omega_1(1 + 3 + \dots + 2m_1 - 1)]}\, \sigma u \\ &= (-1)^{m_1}\, e^{2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. \end{align*} Cette formule subsiste quand $m_1$~est négatif, comme cela résulte évidemment de l'expression ci-dessus de~$\sigma(u - 2\omega_1)$. Cela posé, nous avons \begin{align*} \sigma(u + 2\omega) &= \sigma(\overline{u + 2m_1\omega_1} + 2m_2\omega_2) \\ &= (-1)^{m_2}\, e^{2m_2\eta_2(\overline{u + 2m_1\omega_1} + m_2\omega_2)}\, \sigma(u + 2m_1\omega_1) \\ &= (-1)^{m_1 + m_2}\, e^{2m_2\eta_2(u + 2m_1\omega_1 + m_2\omega_2) + 2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. \end{align*} %% -----File: 128.png---Folio 124------- L'exposant de~$e$ contient le terme $4m_1m_2\eta_2\omega_1$ qui, si l'on tient compte de la formule du~\no29 \[ 2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i, \] peut s'écrire \[ 2m_2\eta_2\centerdot m_1\omega_1 + 2m_1\eta_1\centerdot m_2\omega_2 - m_1m_2\pi i. \] L'expression de $\sigma(u + 2\omega)$ peut alors être mise sous la forme \[ \sigma(u + 2\omega) = (-1)^{m_1 + m_2}\, e^{-m_1m_2\pi i}\, e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + m_1\omega_1 + m_2\omega_2)}\, \sigma u \] ou \[ \sigma(u + 2\omega) = (-1)^{m_1 + m_2 + m_1m_2}\, e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + \omega)}\, \sigma u. \] Telle est la formule que nous voulions établir. Si l'on prend la dérivée logarithmique de ses deux membres, on trouve \[ \zeta(u + 2\omega) = \zeta u + 2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2. \] Cette nouvelle formule nous apprend ce que devient~$\zeta u$ quand on ajoute à l'argument~$u$ une période quelconque. Il serait facile d'y arriver directement, en partant des expressions de $\zeta(u + 2\omega_1), \zeta(u + 2\omega_2)$ données au~\no27 (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III). %[xref] \ctb %% -----File: 129.png---Folio 125------- \TableofContents \iffalse TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS PREMIÈRE PARTIE Généralités concernant les fonctions elliptiques. CHAPITRE I. --- Des périodes. CHAPITRE II. --- Transformation des fonctions elliptiques. CHAPITRE III. --- Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques. DEUXIÈME PARTIE La fonction $\wp u$. CHAPITRE I. --- Construction et propriétés de la fonction $\wp u$. CHAPITRE II. --- La fonction $\wp u$ définie par une équation différentielle. CHAPITRE III. --- Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$. CHAPITRE IV. --- Expression des fonctions elliptiques par les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\rho$. CHAPITRE V. --- Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. --- Multiplication de l'argument. CHAPITRE VI. --- Multiplication de l'argument de $\wp u$ (suite). --- Division de l'argument. CHAPITRE VII. --- Division des périodes de $\wp u$. %% -----File: 130.png---Folio 126------- TROISIÈME PARTIE Les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$. CHAPITRE I. --- Les fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$. CHAPITRE II. --- La fonction $\sn u$. CHAPITRE III. --- Les fonctions $\cn u$, $\dn u$. CHAPITRE IV. --- Dérivées de $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$. --- Développements en série. --- Dégénérescences. CHAPITRE V. --- Addition des arguments. --- Équation d'Euler.--Multiplication de l'argument des fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$. QUATRIÈME PARTIE Les fonctions $\theta$. CHAPITRE I. --- La fonction $\theta$. --- Expressions de $\wp u$, $\zeta u$, $\sigma u$, au moyen de cette fonction. CHAPITRE II. --- Les fonctions $\theta_1 u$, $\theta_2 u$, $\theta_3 u$. --- Expressions de $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$ par les fonctions $\theta$. CHAPITRE III. --- Calcul de $\wp u$, $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$ en fonction des périodes. ADDITIONS. \fi \ctb \vfill \begin{center} \scriptsize BAR-LE-DUC, IMPRIMERIE COMTE-JACQUET. \end{center} \cleardoublepage %%%% LICENCE %%%% \pagenumbering{Alph} \pagestyle{fancy} \phantomsection \pdfbookmark[0]{Licence}{Licence} \fancyhf{} \fancyhead[C]{\CtrHeading{Project Gutenberg Licence}} \SetPageNumbers \begin{PGtext} End of the Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques, by Charles Henry *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** ***** This file should be named 32643-pdf.pdf or 32643-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://www.gutenberg.org/3/2/6/4/32643/ Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) Updated editions will replace the previous one--the old editions will be renamed. Creating the works from public domain print editions means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. They may be modified and printed and given away--you may do practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. *** START: FULL LICENSE *** THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase "Project Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg-tm License (available with this file or online at http://gutenberg.org/license). Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. 1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic works. See paragraph 1.E below. 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is in the public domain in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. 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Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. 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Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. 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', 1, 1, '', ''], ['\\Paragraph', 1, 1, '', ' '], ['\\Input', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''], ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'], ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''], ['\\pdfbookmark', 0, 0, '', '', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''] ); ### This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6) 1 JUN 2010 08:46 entering extended mode %&-line parsing enabled. **32643-t.tex (./32643-t.tex LaTeX2e <2005/12/01> Babel and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file \inpenc@prehook=\toks14 \inpenc@posthook=\toks15 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions \babel@savecnt=\count88 \U@D=\dimen103 ) Package babel Info: Making : an active character on input line 219. Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. \parindentFFN=\dimen104 \std@mcc=\count89 \dec@mcc=\count90 ************************************* * Local config file frenchb.cfg used * (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te xlive/tex/latex/tools/calc.sty Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) \calc@Acount=\count91 \calc@Bcount=\count92 \calc@Adimen=\dimen105 \calc@Bdimen=\dimen106 \calc@Askip=\skip43 \calc@Bskip=\skip44 LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75. LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76. \calc@Ccount=\count93 \calc@Cskip=\skip45 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package Package textcomp Info: Sub-encoding information: (textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency (textcomp) 4 = 5 + \texteuro (textcomp) 3 = 4 + \textohm (textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency (textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t (textcomp) 0 = TS1 (full) (textcomp) Font families with sub-encoding setting implement (textcomp) only a restricted character set as indicated. (textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts. (textcomp) See the documentation for details. Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file ) LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266. Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281. Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282. Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283. Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284. Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285. Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286. Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287. Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288. Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289. Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290. Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291. Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292. Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293. Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294. Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295. Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296. Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297. Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298. Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299. Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300. Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301. Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302. Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303. Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304. Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305. Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306. Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307. Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308. Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309. Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310. Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311. Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312. Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313. Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314. Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315. Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316. Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317. Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318. Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319. Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320. Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321. Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322. Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323. Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324. Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325. Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip46 For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks16 \ex@=\dimen107 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen108 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count94 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count95 \leftroot@=\count96 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count97 \DOTSCASE@=\count98 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen109 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count99 \c@MaxMatrixCols=\count100 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count101 \dspbrk@lvl=\count102 \tag@help=\toks17 \row@=\count103 \column@=\count104 \maxfields@=\count105 \andhelp@=\toks18 \eqnshift@=\dimen110 \alignsep@=\dimen111 \tagshift@=\dimen112 \tagwidth@=\dimen113 \totwidth@=\dimen114 \lineht@=\dimen115 \@envbody=\toks19 \multlinegap=\skip47 \multlinetaggap=\skip48 \mathdisplay@stack=\toks20 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) \symrsfs=\mathgroup6 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) \col@sep=\dimen116 \extrarowheight=\dimen117 \NC@list=\toks21 \extratabsurround=\skip49 \backup@length=\skip50 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities \FN@temptoken=\toks22 \footnotemargin=\dimen118 \c@pp@next@reset=\count106 \c@@fnserial=\count107 Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 . ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) \KV@toks@=\toks23 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) ) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive ) Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX \Gread@gobject=\count108 )) \Gin@req@height=\dimen119 \Gin@req@width=\dimen120 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty \wrapoverhang=\dimen121 \WF@size=\dimen122 \c@WF@wrappedlines=\count109 \WF@box=\box28 \WF@everypar=\toks24 Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty \fancy@headwidth=\skip51 \f@ncyO@elh=\skip52 \f@ncyO@erh=\skip53 \f@ncyO@olh=\skip54 \f@ncyO@orh=\skip55 \f@ncyO@elf=\skip56 \f@ncyO@erf=\skip57 \f@ncyO@olf=\skip58 \f@ncyO@orf=\skip59 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry \Gm@cnth=\count110 \Gm@cntv=\count111 \c@Gm@tempcnt=\count112 \Gm@bindingoffset=\dimen123 \Gm@wd@mp=\dimen124 \Gm@odd@mp=\dimen125 \Gm@even@mp=\dimen126 \Gm@dimlist=\toks25 (/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX \@linkdim=\dimen127 \Hy@linkcounter=\count113 \Hy@pagecounter=\count114 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) ) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( HO) ) Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 8. Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. Implicit mode ON; LaTeX internals redefined Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty \Urlmuskip=\muskip11 Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. ) LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. \Fld@menulength=\count115 \Field@Width=\dimen128 \Fld@charsize=\dimen129 \Choice@toks=\toks26 \Field@toks=\toks27 Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. \Hy@abspage=\count116 \c@Item=\count117 ) *hyperref using driver hpdftex* (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX \Fld@listcount=\count118 ) \ToCLen=\skip60 \c@PartNo=\count119 \TmpLen=\skip61 (./32643-t.aux) \openout1 = `32643-t.aux'. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 547. (/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern ) LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 547. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 547. LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 547. (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex [Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] \scratchcounter=\count120 \scratchdimen=\dimen130 \scratchbox=\box29 \nofMPsegments=\count121 \nofMParguments=\count122 \everyMPshowfont=\toks28 \MPscratchCnt=\count123 \MPscratchDim=\dimen131 \MPnumerator=\count124 \everyMPtoPDFconversion=\toks29 ) -------------------- Geometry parameters paper: class default landscape: -- twocolumn: -- twoside: true asymmetric: -- h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt hmarginratio: 1:1 vmarginratio: 2:3 lines: -- heightrounded: -- bindingoffset: 0.0pt truedimen: -- includehead: true includefoot: true includemp: -- driver: pdftex -------------------- Page layout dimensions and switches \paperwidth 379.4175pt \paperheight 578.15999pt \textwidth 361.34999pt \textheight 481.31845pt \oddsidemargin -63.23624pt \evensidemargin -63.23624pt \topmargin -58.2829pt \headheight 12.0pt \headsep 19.8738pt \footskip 30.0pt \marginparwidth 98.0pt \marginparsep 7.0pt \columnsep 10.0pt \skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt \hoffset 0.0pt \voffset 0.0pt \mag 1000 \@twosidetrue \@mparswitchtrue (1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) ----------------------- (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) (/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive ) Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. ) Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 547. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) ) \c@section@level=\count125 ) LaTeX Info: Redefining \ref on input line 547. LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 547. (./32643-t.out) (./32643-t.out) \@outlinefile=\write3 \openout3 = `32643-t.out'. LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 561. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 584. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 584. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 584. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) ) [1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 ] [1 ] [2 ] [3 ] [1 ] [2 ] <./images/015a.pdf, id=524, 180.675pt x 181.67876pt> File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf) [3 <./images/015a.pdf>] <./images/016a.pdf, id=547, 135 .50626pt x 104.39pt> File: ./images/016a.pdf Graphic file (type pdf) [4 <./images/016a.pdf>] <./images/017a.pdf, id=572, 121 .45375pt x 108.405pt> File: ./images/017a.pdf Graphic file (type pdf) <./images/017b.pdf, id=573, 119.44624pt x 110.4125pt> File: ./images/017b.pdf Graphic file (type pdf) Underfull \hbox (badness 1178) in paragraph at lines 970--974 []\T1/cmr/m/n/12 Ce pa-ral-lé-lo-gramme est la ré-gion cher-chée. Construi-sons [] [5 <./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf>] <./images/018a.pdf, id=597, 324.211 24pt x 107.40125pt> File: ./images/018a.pdf Graphic file (type pdf) [6 <./images/018a.pdf>] [7] [8] [9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17 ] <./images/030a.pdf, id=687, 179.67125pt x 99.37125pt> File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf) [18 <./images/030a.pdf>] [19] [20] [21 ] [22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] <./images/045a.pdf, id=768, 105.39375pt x 85.31876pt> File: ./images/045a.pdf Graphic file (type pdf) [30 ] <./images/045b.pdf, id=777, 126.4725pt x 186.6975pt> File: ./images/045b.pdf Graphic file (type pdf) [31 <./images/045a.pdf> <./images/045b.pdf>] [32] [33] <./images/048a.pdf, id=811, 136.51pt x 123.46124pt> File: ./images/048a.pdf Graphic file (type pdf) [34 <./images/048a.pdf>] [35] [36] [37] <./images/052a. pdf, id=842, 117.43875pt x 109.40875pt> File: ./images/052a.pdf Graphic file (type pdf) [38 <./images/052a.pdf>] [39] [40] [41 ] [42] <./images/057a.pdf, id=879, 162.6075pt x 116.435pt> File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf) [43 <./images/057a.pdf>] [44] [45] [46] [47] [48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54 ] [55] [56] [57 ] [58] [59] [60] [61] [62] Overfull \hbox (4.55472pt too wide) in paragraph at lines 3467--3472 \T1/cmr/m/n/12 en fonc-tion de $\OML/cmm/m/it/12 } []$\T1/cmr/m/n/12 , puis $\O ML/cmm/m/it/12 } []$ \T1/cmr/m/n/12 en fonc-tion de $\OML/cmm/m/it/12 }\OT1/cmr /m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u; ![]; ![]\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 . [] [63 ] [64] [65] [66] [67 ] [68 ] [69] [70] [71] <./images/087a.pdf, id=1062, 176.66pt x 107.40125pt> File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf) [72 <./images/087a.pdf>] [73] [74 ] [75] [76] <./images/092a.pdf, id=1105, 177.66376pt x 42.1575pt> File: ./images/092a.pdf Graphic file (type pdf) [77 <./images/092a.pdf>] [78] [79] [80 ] [81] [82] [83] [84 ] [85] [86] [87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94 ] [95 ] [96] [97] [98] [99] [100 ] [101] [102] [103] [104] [105] [106 ] [107] [108] [109] [110] [111] [112 ] [113] (./32643-t.toc [114 ]) \tf@toc=\write4 \openout4 = `32643-t.toc'. [115] [1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] (./32643-t.aux) *File List* book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file fontenc.sty t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package frenchb.ldf frenchb.cfg calc.sty 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features amstext.sty 2000/06/29 v2.01 amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f mathrsfs.sty 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment array.sty 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) textcase.sty 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC) footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX wrapfig.sty 2003/01/31 v 3.6 fancyhdr.sty geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry geometry.cfg hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO ) url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions supp-pdf.tex color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) 32643-t.out 32643-t.out t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) ./images/015a.pdf ./images/016a.pdf ./images/017a.pdf ./images/017b.pdf ./images/018a.pdf ./images/030a.pdf ./images/045a.pdf ./images/045b.pdf ./images/048a.pdf ./images/052a.pdf ./images/057a.pdf ./images/087a.pdf ./images/092a.pdf *********** ) Here is how much of TeX's memory you used: 6576 strings out of 94074 86479 string characters out of 1165154 144008 words of memory out of 1500000 9278 multiletter control sequences out of 10000+50000 40500 words of font info for 107 fonts, out of 1200000 for 2000 645 hyphenation exceptions out of 8191 36i,18n,43p,269b,531s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s {/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}< /usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb> Output written on 32643-t.pdf (129 pages, 964009 bytes). PDF statistics: 1602 PDF objects out of 1728 (max. 8388607) 415 named destinations out of 1000 (max. 131072) 994 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)